1) Cho $P(x);Q(x)$ là các đa thức hệ số thực và dãy số $\{a_n \}:a_n=n!+n$.Chứng minh rằng:Nếu biểu thức $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ là 1 số nguyên vối mọi $n$ thì thương $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ cũng là 1 số nguyên vối mọi $n$ thỏa mãn:$Q(n) \neq 0$.
2) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn:
$$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$
Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn: $$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$
#1
Đã gửi 23-10-2011 - 16:16
- tranquocluat_ht, robin997, LNH và 6 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 29-07-2013 - 14:49
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 20-09-2013 - 20:25
- LNH, vuminhhoang, nhatquangsin và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 31-07-2013 - 00:42
Chứng minh của Sally trên sai ở ngay bước chứng minh hệ số $a_n$ dẫn đến kết luân nghiêm sai.
Dạng này có thể sử dụng số phức.
Dễ thấy nếu đa thức $x_0 \in R$ thì $P(x)$ cũng có nghiệm $x_0^2$ và $(x_0-2)^2$. Do vây nếu $\left | x_0 \right |\neq 1$ thì đa thức $P(x)$ có vô hạn nghiệm.
(Do nếu ngược lai thì $P(x)$ có các nghiệm $1<x_0<x_0^2<x_0^4<...$ hoặc $1>x_0>x_0^2>x_0^4>...>0$ đôi một phân biệt ,vô lí)
Suy ra $\left | x_0 \right |=1$ và $x_0=1$ (nếu $x_0=-1$ thì $P(x)$ có nghiệm $(x_0-2)^2=9>1$ vô lí) hay $P(x)=(x-1)^k.Q(x)$ với $Q(x)$ là đa thức hệ số thực không có nghiệm thực.
Dễ thấy thay vào phương trình $P(x)$ suy ra $Q(x)Q(x+2)=Q(x^2)$. (1)
Giả sử $Q(x)$ có các nghiệm phức $\alpha _k=a_k+i.b_k$.Dễ thấy $\left |\alpha _k \right |=1$ vì nếu ngược lại thì $Q(x)$ cũng có vô hạn nghiệm phức, vô lí.
Do đó $a_k^2+b_k^2=1$ (suy ra $a_k,b_k <1$, mặt khác theo (1) ta có Q(x) cũng có nghiệm $(\alpha _k -2)^2$.
Mà $\left |(\alpha _k -2)^2 \right |=(a_k-2)^2+b_k^2>1$ do $a_k<1 \Rightarrow (a_k-2)^2>1$, vô lí vì mọi nghiệm của $Q(x)$ đều có modun là 1.
Suy ra $Q(x)=c$ hay $P(x)=c.(x-1)^k$, thay vào phương trình dễ thấy $c=0$ hoặc $c=1$.
Kết luận $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^k$ (k là số tự nhiên bất kì)
- Zaraki, LNH, phanquockhanh và 4 người khác yêu thích
LKN-LLT
#4
Đã gửi 02-08-2013 - 17:18
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 01/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh