Chủ đề này có 2 trả lời

[cvp]

Cho $3$ số $a;b;c$ thỏa mãn điều kiện :$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR:
$a+b+c+ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$

[Ispectorgadget]

Ta có:$1=a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
Chứng minh: $2a^2+2b^2+2c^2\geq2( ab+bc+ac)$$=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz ta có; $a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ =>$\sqrt{3}=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\geq (a+b+c)$
Cộng lại ta có ĐPCM

[vietfrog]

Cho $3$ số $a;b;c$ thỏa mãn điều kiện :$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR:
$(a+b+c)+(ab+bc+ac)\leq 1+\sqrt{3}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 cái ngoặc ta có:
\[(a.1 + b.1 + c.1) + (a.b + b.c + c.a) \le \sqrt {({1^2} + {1^2} + {1^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})} + \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})} = 1 + \sqrt 3 \]