Chủ đề này có 2239 trả lời

[ducquang98]

CM rằng với mọi tam giác ABC ta có:
sinAcotgB+sinBcotgC+sinCcotgA>=3/2

[ducquang98]

Cho ABC .Một đường tròn (K) qua hai điểm B,C cắt AB,AC lần lượt tại D,E.Đường tròn ngoại tiếp cong lõm ADE tiếp xúc với (K) tại M.Chứng minh tia phân giác góc BMC qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lời giải bài này đã có trong cuốn APMO của thầy NVN,nhưng mình không hài lòng lắm.Có bạn nào có lời giải đẹp hơn không?Hình như có thể dùng phép ghịch đảo cực M.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducquang98: 19-09-2005 - 17:04

[vodich]

Cho tamgiac ABC noi tiep duong tron tam O M la mot diem thuoc cung BC cua duong tron .Goi I , J la tam duong tron noi tiep tam giac ABM ,CMA.Goi (T) la duong tron ngoai tiep tam giac MIJ .Chung minh (T)di qua mot diem co dinh.

[vodich]

cho duong tron tam (O) tam giac ABC M la mot diem thuoc cung BC .cac cat tuyen qua M vuong goc voi OB,OC cat BC,AB,AC o X,Y,Z,P .Chung minh XM=XZ khi va chi khi XY=XP.

[toanvatoi]

Em chưa hiểu rõ thế nào là vector đơn vị, và tại sao chúng lại tạo ra góc 120 độ .Theo em trong bài này, điểm A trùng điểm D, nhưng em ko c/m được
Sieunhan có thể nói rõ hơn cho em và bạn DT hiểu được ko

[sieunhan]

1)Truớc hết thấy rằng MI,MJ qua P,Q là trung điểm cung AB,AC cố định
2)(MIJ) cắt (ABC) ở L M
3)LP/LQ=PB/QC=const;
4)L có định(ĐPCM);

[ducquang98]

đây là đề thi vô địch Iran,mình khong nhớ cụ thể năm,nhung trong đề còn có thêm 2 câu sau:
-CMR đường tròn đường kính Ị đi qua một 9 cố định.
-CMR trung điểm Ị thuộc một đường cố định.
Bạn có thể tìm lơì giải các bài này trong cuốn APMO của Nhuyễn Văn Nho

[toanvatoi]

Ah, bây giờ thì em đã hiểu rồi. Cảm ơn siêu nhân nhiều nha !!!

[neverstop]

nếu cho tam giác ABC và đường thẳng l và gọi X, Y, Z là chân các đường vuông góc hạ từ A, B, C xuống l thì các đường thẳng qua X, Y, Z lần lượt vuông góc với BC, CA, AB sẽ đồng quy.

điểm đồng quy gọi là cực trực giao của l đối với tam giác ABC.

[neverstop]

trước hết xin sửa lại đề bài chút ít: phân giác góc BMC đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

cách giải này không hoàn toàn là dùng nghịch đảo nhưng bạn tham khảo thử:

gọi X, Y là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác cong ADE với AB, AC. ta se dùng phép nghịch đảo để chứng minh giao điểm của đường tròn (MXB) và (MYC) nằm trên phân giác góc BMC.

qua phép nghịch đảo thì 2 đường tròn trở thành 2 đường thẳng song song còn AB, AC thành 2 đường tròn có XY là tiếp tuyến chung. đường tròn (MXB), (MYC) trở thành các đường thẳng BX, CY. ta sẽ có bài toán:

cho 2 đường tròn http://dientuvietnam...imetex.cgi?(O_1) tại B, cắt http://dientuvietnam...imetex.cgi?(O_2) tại C. J là giao điểm của BX, CY. CMR: MJ là phân giác góc BMC.

gọi K là giao điểm của MJ và BC, ta sẽ chứng minh: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{UMV} = 1/2 số đo cung CD tức bằng 1/2 góc B.
mà nên BI là phân giác góc B.
tương tự CI là phân giác góc C nên I là tâm nội tiếp của tam giác.

bạn có thể xem thêm ở đây, có rất nhiều kết quả liên quan đến bài toán này: (bài toán do Stupid phát biểu ở đây hơi khác đi nhưng chúng là một):
http://diendantoanho...?showtopic=3613
PS: cách giải của mình ở đó có vấn đề, nhưng chỗ đó được bài giải ở trên này khắc phục rồi, cho nên có thể yên tâm với các kết quả đưa ra ở đó.

[tsunami_cbg]

Trời ạ.Đọc những dòng xuanquynh hỏi mình hơi bất bình đấy điều cơ bản của hình mà :cho ABC thì ma ,mb.mc là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A B C tương tự l là độ dài đường phân giác còn h là độ dài đường cao

[tsunami_cbg]

Mình muốn nói thêm một chút các BDT của cụ Jack đều gây ấn tượng bạn nào có thể đưa ra một số bài không? Nếu được thì cảm ơn nhiều nhiều ....

[tanlsth]

cho 3 dương tròn có tâm lân lươt là A,B,C tiếp xúc trong với dường tròn tâm O lần
lượt tại E,F,H .kẽ các tiếp tuyến dôi một cua các dường tròn (A),(B),©vào phía trong ,từng tiếp tuyến cát nhau tại X,Y,Z.cmr EX,FY,HZ dồng qui

[chuyentoan]

Cho tam giác ABC. Đường tròn qua B, C cắt AB, AC tại C', B'. H, H' lần lượt là trực tâm ABC, A'B'C'. Chứng minh : HH', BB', CC' đồng quy

[David]

Chứng minh rằng với mọi tam giác ta luôn có:
3(tg(A/2)/ra^2+tg(B/2)/rb^2+tg(C/2)/rc^2) sqrt{(1/R^2.r^2)+(1/R^2.p^2)+(4/Rrp^2)}
Với ra,rb,rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp các góc A,B,C,R,r,p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và nửa chu vi của tam giác ABC

[mat troi moc]

Su dung truc dang phuong .

[monkey]

Em có 1 bài này,cung` ko khó lắm,nhưng em ko có cách làm ngắn gọn
Cho đt d : 2x-2y+1=0 và điểm A(0;4)và B(5;0)
Viết ptdt d1 qua A và d2 qua B sao cho d là phân giác góc giữa d1 và d2.

[sieunhan]

Cho tam giác ABC, D trên BC đường tròn (O1) tiếp xúc AD,BC và (O) tương tự có (O2) trong đó (O) là (ABC).
Gọi các tiếp điểm của (O1) và AD,BC,(O) là P,Q,M của (O2) với AD,BC,(O) là
R,S,N.
Ta chứng minh một vài kết quả cơ bản sau
1) PQ qua tâm nội tiếp I của ABC
Để chứng minh ta thông qua 4 bổ đề mong các bạn tự chứng minh
Bổ đề 1: MP,MQ cắt (O) ở E,F chứng minh PQ//EF;
Bổ đề 2:Ax là tia khác phía đối với AC so với AB.Ax là tiếp tuyến với (O) góc(xAB)=góc(ACB);
Bổ đề 3:MP cắt (O) ở L tiếp tuyến với (O1) tại P cắt (O) ở A,B
Khi đó ML là phan giác góc AMB và LA^2=LM*LP;
Bổ đề 4: F la trung điểm cung BC khong chứa A khi đó I là tâm nội tiếp I [FA] và FI=FB=FC;
Chứng minh:
-PQ cắt AF ở J chú ý AF là phân giác góc(BAC)(Theo bổ đề 3);
-Theo bổ đề 1 PQ//EF -> (PM,PQ)=(EM,EF)=(AM,AJ) -> A,P,J,M đồng viên
-Từ đó góc(AJM)=góc(APM).Do AP là tiếp tuyến của (MPQ) thep bở đề 2 -> góc(APM)=góc(MPQ).Vậy góc(AJM)=góc(MQJ).Thep bổ đề 2 AJ là tiếp tuyến của (MQJ)
-Từ đó góc(QJF)=góc(FMJ) suy ra góc(FMJ)=góc(AJP)=góc(AME) kết hợp với góc(MFJ)=góc(MEA) -> FJM đồng dạng EAM -> FJ=(EA/EM)*FM;
-Dựa vào bổ đề 3 và PQ//EF suy ra FB=FJ(Các bạn tự kiểm chứng)
-Theo bổ đề 4 suy ra J=I đó là ĐPCM
Dưa vào kết quả trên ta thu được
1)Định lý Thebault: O1,O2,I thẳng hàng
Bổ đề 5: PQ và RS cắt nhau tại diểm trên O1O2 (Có thể chứng minh dựa vào PAPUS hay đồng dạng)
Do I PQ,I RS nên theo bổ đề 5 thì I O1O2(đpcm);

2)Cho tứ giác ABCD nối tiếp (O) (O') tiếp xúc AC,BD ở E,F và tx trong với(O) thì EF qua tâm duờng tròn nội tiếp các tam giác ADC và BCD
Bài toán này đã đựơc thảo luận ròi nên ở đây chỉ đưa ra như hệ quả;

3) 4 điểm A,B,C,T nằm trên đường thẳng d. Đường tròn (O1) tiếp xúc với (KAT),
(KBC) và d ở P,Q. (O2) tiếp xúc với (KAT)(KBC) và d ở R,S. CMR: (KO1O2),(KPQ),(KRS) có chung trục đẳng phương. (đồng trục)

4) r<r1+r2 trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, r1, r2 là bán kính của (O1),(O2) nói ở phần đầu bài.Hay mạnh hơn r<sqrt((r1)^2+(r2)^2));

5) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có AD BC . Qua A và D kẻ đường thẳng song song với BC, qua B và C kẻ đường thẳng song song với AD. Gọi 4 đường tròn tiếp xúc ngoài với (O) và nội tiếp các tam giác cong tạo bởi các đường thẳng kẻ từ 2 đỉnh liên tiếp. CMR: tổng bán kính 4 đường tròn đó bằng

6)Định lý Nhật Bản: tứ giác ABCD nội tiếp. Các tâm nội tiếp của bốn tam giác ABC, BCD, CDA ,DAB tạo thành hình chữ nhật.

7)Hệ quả này tớ suy ra từ ý tưởng thi quốc tế lâu rồi:
- (IMO 1987)Cho tam giác ABC vuông ở C đường cao CH các đường tròn (O1) và (O2) là đường tròn nội tiếp tam giác 'cong' CHA và CHB.Chứng minh (I) nôi tiếp ABC (O1),(O2) và AB còn có tiếp tuyến chung.
Có thể chứng minh bằng tính toán nhưng nếu thay ABC bởi tam giác bất kì thì lời giải vô hiêu lực mặc dù bài toán vẫn đúng:
-Cho tam giác ABC C đường cao CH các đường tròn (O1) và (O2) là đường tròn nội tiếp tam giác 'cong' CHA và CHB.Chứng minh (I) nôi tiếp ABC (O1),(O2) và AB còn có tiếp tuyến chung.
Các bạn dẽ thấy được lời giaỉa bài này từ bài tán ban đầu.
Nhân đấy ai có ý tưởng mới thì đóng góp xin cám ơn nhiều.


Cảm ơn bạn Solution đã chỉnh sửa!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieunhan: 20-10-2005 - 17:22

[ducquang98]

Cho 3 điểm A,I,B thứ tự đó trên đường thẳng d cố định(3 điểm đó cũng cố định). một đường tròn © thay đổi qua A và B.Các tiếp tuyến của © tại A và B gặp nhau tại P.PI cắt © tại D.Chứng minh phân giác góc ADB luôn đi qua một điểm cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducquang98: 29-09-2005 - 15:20

[ducquang98]

Cho góc xOy nhọn cố định.M,N là hai điểm cố định trên Ox,Oy sao cho OM=ON.Gọi B,C là hai điểm di động trên các tia đối của tia MO,NO sao cho BC không song song với MN.BC cắt MN tại J,BN cắt CM tại A.OA cắt BC tại I.Chứng minh tồn tại một điểm U cố định sao cho IUJ bằng 90 độ