Chủ đề này có 2239 trả lời

[sieunhan]

Theo định lý Steiner dẽ thấy DA/DB = const suy ra ĐPCM

[Boy Stands Alone]

Cho đường thẳng và hai điểm P ,Q nằm cùng một phía so với đường thẳng .Gọi M , N là các điểm nằm trên đường thẳng và thoả mãn , .Cho S là điểm nằm giữa hai đường thẳng PM , QN sao cho PM=PS .Hai đường tring trực của SM và SN gặp nhau tại R .Gọi T là giao điểm thứ hai của đường thẳng RS và đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR .Chứng minh RS=RT.

Điểm nằm giữa 2 đường thẳng nghĩa là sao !

[Circle]

Về cách chứng minh bài toán 1 của sieunhan ở giai đoạn cuối khá dài dòng nên xin được tóm lược lại cách cm như sau:

-Đầu tiên cm APJM nội tiếp: sđA1=sđFM=sđ(FB+BM)=sđ(FC+BM)=sđ(MQB)=sđQM=sđ(QPM)

-APJM nội tiếp ==>AMJ=DPQ=PMQ(góc chắn bởi tiếp tuyến & dây cung)
==> M1=M2
Mà M1=J1=J2
==>M2=J2==>FJQ~FMJ==>FJ^2=FQ.FM=FB^2 (theo bổ đề 3)
==>FJ=FB ==> J là tâm nội tiếp

[chypndc]

Tìm một cách giải khác của bài toán sau:(không đưa về phương trình bậc 4).
Bài toán:
Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;1), B(b;3),C(c; 0).Tìm b,c để tam giác ABC là tam giác đều.
Cảm ơn nhiều!!!

[ducquang98]

Lời giải của bạn khá ngắn gọn và lạ.Bạn siêu nhân có thể nêu một số tính chất và một vài bài toán về cực trực giao cho mọi người cùng học hỏi dược không?Cảm ơn nhiều

[tanlsth]

dó là tiếp tuyến chung của hai dường tròn môt bạn à

[sieunhan]

Vấn đề: Cho tam giác ABC Mở trong tam giác đó hãy tìm các bdt liên quan giữa M và tam giác.

Vấn đề này không mới vì đã có nhiều bdt như thế được nêu ra:

1)(BDT ERDOS-MODEL) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?MA+MB+MC\ge{2(MA'+MB'+MC')}với A',B',C' là hình chiếu của M lên 3 cạnh.

Chứng minh và mở rộng của bdt này các bạn có thể tìm thấy ở trong nhiều tài liệu hay bài báo "Từ một bât đẳng thức trong tam giác " của tác giả Bùi Việt Hà trong 30 năm toán tuổi trẻ hoặc bài " BDT ERDOS" của Nguyễn Công Quì ở cùng tài liệu đó.

2) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MA.MB}{CA.CB}+\dfrac{MB.MC}{AB.AC}+\dfrac{MC.MA}{BC.BA}\ge{1}

Chứng minh bdt trên có thể tìm thấy trên diẽn đàn này.

4)http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MA}{bc}+\dfrac{MB}{ca}+\dfrac{MC}{ab}\ge{\dfrac{1}{R}} trong đó a,b,c,R là các kí hiệu quen thuộc.

Có một bdt "tương tư" như vậy:

5) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MA}{a^2}+\dfrac{MB}{b^2}+\dfrac{MC}{c^2}\ge{1}{R} (USAMO 2001).

Mong các bạn đưa được bdt mạnh hơn.

6)Một ý tưởng là đánh giá http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S=\dfrac{MB.MC}{MA.a}+\dfrac{MC.MA}{MB.b}+\dfrac{MA.MB}{MC.c}.

Lúc đầu tôi chỉ đánh giá được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S\ge{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4.S.\sqrt{3}}}{a+b+c}}.

Sau một vài biến đổi tôi đã thu được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S\ge{\sqrt{3}}. Hiển nhiên đánh giá trên tốt hơn nhiều.(Các bạn tự chứng minh)

Sau cùng là một vài bdt tôi đã thu được mong các bạn quan tâm đóng góp thêm để phong phú hơn:

7)http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MA^2}{b.c}+\dfrac{MB^2}{c.a}+\dfrac{MC^2}{a.b}\ge{1}

8) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin{MA.\sin{BMC}.(\sin{B}.\sin{C})^2}\ge{\dfrac{1}{4}.MA.MB.MC.\sin{BMC}.\sin{CMA}.\sin{AMB}

Vấn đề: Cho tam giác ABC Mở trong tam giác đó hãy tìm các bdt liên quan giữa M và tam giác.

Vấn đề này không mới vì đã có nhiều bdt như thế được nêu ra:

1)(BDT ERDOS-MODEL) [TeX]MA+MB+MC\ge{2(MA'+MB'+MC')}[/TeX]với A',B',C' là hình chiếu của M lên 3 cạnh.

Chứng minh và mở rộng của bdt này các bạn có thể tìm thấy ở trong nhiều tài liệu hay bài báo "Từ một bât đẳng thức trong tam giác " của tác giả Bùi Việt Hà trong 30 năm toán tuổi trẻ hoặc bài " BDT ERDOS" của Nguyễn Công Quì ở cùng tài liệu đó.

2) [TeX] \dfrac{MA}{a}+\dfrac{MB}{b}+\dfrac{MC}{c}\ge{\sqrt{3}}[/TeX]

Tuy nhiên bdt này như đã biết chỉ là hệ quả của:

3) [TeX]\dfrac{MA.MB}{CA.CB}+\dfrac{MB.MC}{AB.AC}+\dfrac{MC.MA}{BC.BA}\ge{1}[/TeX]

Chứng minh bdt trên có thể tìm thấy trên diẽn đàn này.

4)[TeX]\dfrac{MA}{bc}+\dfrac{MB}{ca}+\dfrac{MC}{ab}\ge{\dfrac{1}{R}}[/TeX] trong đó a,b,c,R là các kí hiệu quen thuộc.

Có một bdt "tương tư" như vậy:

5) [TeX]\dfrac{MA}{a^2}+\dfrac{MB}{b^2}+\dfrac{MC}{c^2}\ge{1}{R}[/TeX] (USAMO 2001).

Mong các bạn đưa được bdt mạnh hơn.

6)Một ý tưởng là đánh giá [TeX]S=\dfrac{MB.MC}{MA.a}+\dfrac{MC.MA}{MB.b}+\dfrac{MA.MB}{MC.c}[/TeX].

Lúc đầu tôi chỉ đánh giá được [TeX]S\ge{\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4.S.\sqrt{3}}{a+b+c}}[/TeX].

Sau một vài biến đổi tôi đã thu được [TeX]S\ge{\sqrt{3}}[/TeX]. Hiển nhiên đánh giá trên tốt hơn nhiều.(Các bạn tự chứng minh)

Sau cùng là một vài bdt tôi đã thu được mong các bạn quan tâm đóng góp thêm để phong phú hơn:

7)[TeX]\dfrac{MA^2}{b.c}+\dfrac{MB^2}{c.a}+\dfrac{MC^2}{a.b}\ge{1}[/TeX]

8) [TeX]\sin{MA.\sin{BMC}.(\sin{B}.\sin{C})^2}\ge{\dfrac{1}{4}.MA.MB.MC.\sin{BMC}.\sin{CMA}.\sin{AMB}[/TeX]

[TeX]9) MA.BC+MB.CA+MC.AB\ge{\sum{MA.BC.(\sin{MBC}+\sin{MCB})}[/TeX]

Các anh quản lý giúp em đánh lại mấy chỗ xích ma với.Cảm ơn nhiều.

Bài viết của bạn rất thú vị, MrMATH đã sửa lại công thức như trên, mong bạn có thêm nhiều bài post chất lượng.

Thân mến!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrMATH: 08-10-2005 - 18:24

[kelieulinh]

Jack đây
Trong mọi tam giác ta có:



Trong tam giác có thì ta có:

[Laoshero1805]

Mình thấy một số bài toán hình học chuyển kết quả ra lượng giác rất đẹp. Mình xin nêu ra 2 bài toán chứng minh hệ thức lượng trong tam giác nhưng các kết quả này đều dựa trên chứng minh hình học mà ra:
Bài 1. Chứng minh :

Với R, Ra, r là tâm ngoại tiếp, tâm bàng tiếp góc A, tâm nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 2. Chứng minh :

Các bạn có thể chứng minh bằng bất kì cách nào cũng được nhưng hãy thữ tìm bài toán hình học nào suy ra 2 kết quả trên xem !!!

[namdx]

Hình học và giải tích (có cả lượng giác trong này) bổ trợ cho nhau rất nhiều, lấy ví dụ là:

Bài toán 1:

Cho ba số x, y, z thỏa mãn hệ thức 3x+4y+5z=1, tìm min của biểu thức (2x-3)^2 + (6y-5)^2 + (7z-2)^2

Bài toán 2:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc nhau đôi một, đặt OA=a, OB=b,OC=c, chứng minh nếu tồn tại một bộ số (k, l, m) thỏa mãn

1/(k*a) + 1/(l*b) + 1/(m*c) = 1 thì mặt phẳng ABC qua điềm cố định.

Vấn đề ở chỗ làm sao vận dụng linh hoạt được chúng đây?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namdx: 12-10-2005 - 11:31

[Luong Van An]

Xin thưa với các bác, bài toán này qua đã suy nghĩ nát óc rồi mà trả ra, giúp qua với.
Đề bài như thế này đây:
Cho ABC, H là trực tâm. C/M:

[trungno1]

ban hãy chứng minh:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{S(HBC)}{tgA}=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{S(HAC)}{tgB}=
Rồi bạn chứng minh S(HBC).HA+S(HCA)HB+S(HAB)HC=O
HA, HB, HC , O viet duoi dang vector.

[manocanh]

chính xác nguồn là toán nâng cao hình học 10 của Phan Huy Khải
bài chứng minh rằng 3 điểm bất kỳ a,b,c đều có tâm tỉ cự , đây chỉ là trường hợp riêng của bài đó .

[luutham]

xem lại một lời giải của một tác giả rất nổi tiếng VHB :

Bài toán: Chứng mhinh rằng trong các tam giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R thì tam giác đều có diện tích lớn nhất.

Lời giải: Giải sử tam giác ABC là tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn (O,R).
Nếu tam giac ABC không đều thì có hai cạnh không bằng nhau. Không mất tính tổng quát nếu ta giả sử AB < AC. Lấy M là điểm chính giữa cung BAC.
Dễ dàng chứng minh được S(ABC) < S(MBC) - Vô lý
(Ký hiệu SABC là diện tích DABC).
Vậy ABC là tam giác đều (đpcm) .


Lưu ý: chứng minh thực sự dễ, chúng ta không tìm sự vô lý ở đây.

Xin hãy thử xem phương pháp chứng minh này cho bài toán khác:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1/x với x >0
Giải : Ta chứng minh x = 2 thì y đạt giá trị nhỏ nhất !

Gọi f(xo) là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( f(x)= 1/x với x >0 )
Nếu xo # 2 thì f(xo + 1) = 1/(xo+1) < 1/xo = f(xo) ( do xo > 0) – Vô lý
Vậy f(2) là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên !

Vài lời bình :
f(2) thực sự là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên hay không ai cũng có câu trả lời.

Việc chứng minh bài toán ìkinh điển” trên không khó nhưng có lẽ cách chứng minh ngắn ngọn này của một nhà giáo danh tiếng về giảng dạy học sinh chuyên Toán và soạn sách tham khảo Toán THCS nên nhiều giáo viên vẫn lấy lời giải này dạy cho học sinh mà không hề nghi ngờ.
Hãy thử nghĩ lại xem !

Tp.HCM ngày 05-10-2005
LƯU VĂN THÁM

[mathematical_olympiads]

Bài 1:
Cho (o) dây cung AB khác đường kính . I là trung điểm AB , qua I kẻ 2 dây CD và EF ( với E và C cùng phía so với AB) . EC , DF cắt AB lần lượt tại M và N . Chứng minh IM=IN .
Đây là bài toán "con bướm" quen thuộc nhưng trường hợp này mình chưa chứng minh được nên nhờ các bạn .

Bài 2:
Cho ABC I là trung điểm BC , qua I kẻ MN và PQ ( M,P thuộc AB . N,Q thuộc AC ). Gọi E , F là giao của MQ và NP với BC . Chứng minh IE= IF

[hoangcaoto]

cho tam giác ABC CM:
(ma+mb)/c 3 :sqrt{3}

[ducquang98]

Cho tam giác ABC với (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với 3 cạnh BC,CA,AB tại D,E,F.Gọi M,N,P là trung điểm của BC,CA,AB.AH,BK,CL là 3 đường cao trong tam giác.MI cắt AH tại P.Tương tự với Q,R.Chứng minh rằng DP,EQ,FR,OI đồng quy với O là tâm (ABC)

[Lê Tiến Đạt]

Cho lục giác ABCDEF.M,N,P là trung điểm AD,BE,CF.CMR:S(ABCDEF)>4S(MNP)

[thanhvienbaccao]

Cho góc xOy chung minh rang tat ca cac duong trong tiep xuc voi 2 tia O x và Oy sẽ phủ kín toàn bộ mặt phẳng bị giới hạn bởi tia O x và Oy(nhớ là đường tròn chứ không phải hình tròn).Khi lấy một điểm bất kì trong mặt phẳng bị giới hạn đó bạn có thể xác định tâm của đường tròn đi qua nó chứ

[thanhvienbaccao]

Cho tam giác ABC với H là trực tâm.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức
AH/a+BH/b+CH/c