Chủ đề này có 2239 trả lời

[ducquang98]

Bài nay đã được dưa ra lâu rồi,xin được bàn luận lại
Gọi giao điểm của (MAB) với CD là K.Gọi giao điểm của AB và CD là P.Nhờ hệ thức Newton ta suy ra (CDKP)=-1.
Gọi giao điểm của (ADF) và (BCF) là I thì ta có nếu gọi giao điểm của MN và CD là K, thì IK',Ì tương ứng là phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác CID.Từ đó suy ra K trùng K'.Từ đó tính toán 2 tỷ số trên nhờ định lý hàm số sin vva2 dung diện tích là ra
Bạn nào có thể giúp mình tìm một lời giải gọn hơn không

[sieunhan]

Bổ đề 1: (Định Lý Pascal 2): ABCDEF nội tiếp (O).Khi đó các giao điểm của EC và BD, EA và BF,FC và AD thẳng hàng.
Hệ quả 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M1,M2 là 2 điểm bất kỳ.AM1 cắt (O) ở A2,A2M2 cắt (O) ở A3,AM2 cắt (O) ở A4.Tương tự có B4,C4.Chứng minh AA4,BB4,CC4 đồng qui ở T nằm trên M1M2.
Sau đó áp dụng hệ quả này cho các điểm đặc biệt ta có đpcm.
Cách phát biểu khác:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) AD,BE,CF là 3 đường cao.EF cắt BC ở A2,AA2 cắt (O) ở A3.AO cắt (O) ở A4.Chứng minh AA4,BB4,CC4 đồng qui.

[Circle]

Cho tam giác ABC có 2AB=CA+CB. I,O,M,N là tâm nội tiếp, ngoại tiếp, trung điểm CA,CB. Cm IOMN nội tiếp.

[neverstop]

gọi K là điểm trên cạnh AB sao cho AK = AM, thế thì sẽ có BK = BN. tức là K, M đối xứng nhau qua AI; BK, BN đối xứng nhau qua BI. suy ra
suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi neverstop: 05-11-2005 - 20:58

[Circle]

Em có cách giải dài hơn rồi:
Ta chỉ cần cm CO vuông góc OI (do IMC=INC=90*)
COI=90* <==> http://dientuvietnam...?CI^2=CO^2 OI^2
<==> http://dientuvietnam...ex.cgi?r^2 (p-c)^2=R^2+(R^2-2Rr)

[mathangel]

ý của mình là chỉ sử dụng hình học giải tích để tìm ra dạng của quỹ tích thôi!
Chúng ta biết công thức để tính khoảng cách từ một điểm http://dientuvietnam...i?a_ix b_iy c_i thì từ công thức ta có tập hợp các điểm thỏa là nghiệm của phương trình... Chia mặt phẳng thành các miền. Trong mỗi miền có quỹ tích là đường thẳng, mặt phẳng hay đoạn thẳng.

[neverstop]

bài này mình dùng tích ngoài, với diện tích đại số để giải, hơi phức tạp chút. mình ký hiệu [.,.] là tích ngoài còn (.,.) là tích vô hướng.
ký hiệu a, b, c, d là độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA. thế thì M thỏa mãn khi và chỉ khi:

hay
chú ý rằng điểm O thỏa mãn điều kiện nên biểu thức trên rút gọn lại còn:

tức là:
suy ra:
gọi là các vectơ đơn vị của các tia AB, BC, CD, DA thì đẳng thức trên được viết thành:

bây giờ gọi X, Y, Z, T là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, BC, CD, DA. chú ý rằng với k là hằng số giống nhau với cả 4 cạnh (chú ý liên hệ giữa tích ngoài và tích vô hướng). do đó có thể viết lại đẳng thức trên thành:

suy ra
hay với E, F là trung điểm của XZ, YT. từ đó suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng qua O vuông góc với EF.

[Alligator]

Bạn neverstop, có phải post 3 bài bị trùng không? Nếu phải thì cho mình biết để mình xóa bớt đi cho gọn nhé.

[mymy]

Nhìn là biết 3 bài bị trùng rồi. Bài này DQ nói là của THCS thì làm gì có kiến thức vecto vô đây nhỉ.
Cho hỏi DQ cái nha, M nằm trong tam giác hay là tứ giác thế . Chắc là tứ giác nhỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mymy: 08-11-2005 - 15:55

[neverstop]

lúc post bài bị báo có lỗi nên mới post 3 bài trùng như vậy. mà thỉnh thoảng diễn đàn lại bị lỗi không vào được.
to ducquang98: có cách giải nào THCS bạn post lên đi.

[Math_Player1990]

cho tam giác ABC,O là tâm đường tròn ngoại tiếp,H là trực tâm
R,r là bán kính các đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC
CMR:Rx(2+cos2A+cos2B+cos2c) r+OH

[Alligator]

Các bạn làm thử bài này chơi

Đề
Cho tam giác ABC cân tại A, góc A = 20 độ. Hai điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho góc ABE = 30 độ, góc ACF = 20 độ. Tính góc EFC.

[magic]

Lâu lắm rồi không làm hình.
Mang lượng giác tính toán lằng nhằng một lúc ra 30 độ .

[TieuSonTrangSi]

Bài này "cổ điển" mà :rose Có cách hình học sau đây, không phải tôi tìm ra , nhưng rất thích (có trong cuốn Mathematical Gems II của Honsberger). Đại khái như sau.

Đổi ký hiệu : gọi tam giác cân đó là http://dientuvietnam...?OA_{14}A_{15}. Lấy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{OA_{15}X}=20, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{OA_{14}Y}=30. Vẽ vòng tròn tâm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?O, bán kính http://dientuvietnam...ex.cgi?OA_{14}. Vì http://dientuvietnam...gi?A_{14}A_{15} là một cạnh của đa giác đều 18 cạnh

Bổ đề 1 : http://dientuvietnam...gi?A_{10}A_{16} đối xứng qua trục http://dientuvietnam...tex.cgi?OA_{15}, nên phải cắt nhau tại một điểm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?O bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y&#39;=Y.

Bổ đề 2 : http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_{13} là "trung điểm" (trên đường tròn) của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_{10}A_{16}. Hơn nữa, hai đoạn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OA_{13} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_{10}A_{16} này là "trung trực" lẫn nhau, vì tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OA_{13}A_{16} đều. Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X&#39; nằm trên trung trực của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OA_{13} nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{OA_{13}X&#39;}=\hat{A_{13}OX&#39;}=20. Suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{OA_{15}X&#39;}=20 vì đối xứng qua http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OA_{14}. Do đó, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X&#39;=X.

Trở lại bài :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_{10}A_{16} là đường cao của tam giác cân http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OXA_{13}. Vậy, nó cũng là phân giác, nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OXA_{10}=70. Từ đó, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{A_{14}XA_{16}}=70 (đối đỉnh). Mặt khác, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{A_{14}XA_{15}}=40 (dễ tính). Suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{A_{15}XY}=70-40=30.

[Alligator]

Bạn magic làm toán giống như magic: hóa phép ra đáp số
Anh 2TS viết gì cũng cẩn thận, nhưng tới phép toán đơn giản cuối cùng thì lại... ẩu (sửa giùm luôn rồi đó)

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{A_{15}XY}=70=40=30.

======
Còn cách hình học nữa mọi người từ từ làm ha. Cho bài trên là để dẫn thôi, bây giờ tổng quát hóa nè:

Đề
Cho tam giác ABC cân tại A. Hai điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AC, AB.
Đặt:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\delta)

[Circle]

Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh lấy E,F,G,H như hình vẽ. Biết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{FD}{FC}=a, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{GA}{GD}=\dfrac{HB}{HC}=b. Tính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{IE}{IF} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{IG}{IH}

[TieuSonTrangSi]

Còn cách hình học nữa mọi người từ từ làm ha.

Bài tổng quát thì tôi xin nhường lại cho bạn magic vì chắc phải tính toán lượng giác nhiều Trở lại bài đầu tiên, tôi còn biết cách này nữa (tự mình tìm ra ) Hy vọng lần này không có chỗ nào "ẩu" cho Cá Sấu "đớp"



Trước tiên, nhận xét rằng <ABC = <ACB = 80*. Trong tam giác ECB, ta có <BEC = 180* - (80* +50*) = 50*, nên ECB cân tại C. Do đó, CE = CB. Trên cạnh AB, lấy điểm D sao cho CD = CB. Trong tam giác cân BCD, dễ có <BCD = 20*. Suy ra <DCE = 80* - 20* = 60*. Vì CD = CB = CE, nên tam giác DCE đều. Từ đó,

DE = DC. (1)

Mặt khác, vì <ACF = 20* nên <FCD = 60* - 20* = 40*. Vậy, tam giác FDC cân tại D, và

DF = DC. (2)

So sánh (1) và (2), ta được DE = DF, tức là tam giác EDF cân tại D. Hơn nữa, <FDE = 180* - 60* - 80* = 40*, nên suy ra <DFE = (180* - 40*) / 2 = 70*. Cuối cùng thì góc phải tìm bằng <CFE = 70* - 40* = 30*.

Sở dĩ tôi thích cách thứ nhất hơn cách này là vì : cách này nó nhốt mình trong phạm vi "nhỏ bé" của tam giác ban đầu ; trong khi cách kia "mở rộng" tầm nhìn, nó cho ta thấy một bối cảnh "lớn" hơn

[TieuSonTrangSi]

Mới tìm ra cách "lượng giác" sau, không biết phải là cách của bạn magic không, nhưng nó giải được bài tổng quát.

Cách này dựa trên dạng lượng giác của định lý Ceva. Xét tam giác http://dientuvietnam...mimetex.cgi?BCF và điểm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?E (hình trên). Vì các đường thẳng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?E (ta không cần vẽ giao điểm của chúng với các cạnh của tam giác), nên ta có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\delta=30 ? Chắc cũng không khó lắm, mong có cao thủ lượng giác nào trổ tài

Áp dụng cho bài tổng quát thì được : . Một lần nữa, xin kêu gọi những bạn giỏi lượng giác tiếp tục...

[nhatminh]

Thử dùng vector xem sao !

[ducquang98]

Đây la bai trên THTT cua thay Trinh Bang Giang o TP HO Chi Minh.Cach giai la dung bai toan cua ban Lim90 khi M nam trong tam giac.Huong lam la don cac khong cach tren vao mot tam giac bang cach goi giao diem 2 canh doi dien cua tu giac.