Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Cho $A= 2+2\sqrt{12n^{2}+1}, n\in \mathbb{N}$.
Chứng minh: Nếu $A \in \mathbb{N}$ thì A là số chính phương

Mình thêm bài này nữa nha!!
Chứng minh phương trình: x(x+1)=4y(y+1) không có giá trị nguyên dương, nhưng có vô số nghiệm hữu tỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Trung Nghĩa: 30-10-2011 - 18:48

[Devil25]

Nếu A $\in$ N thì 12$n^2$+1 = $k^2$ (k $\in$ N*)
có $n^2$ = $\dfrac{(k-1)*(k+1)}{12}$, như vậy k-1 và k+1 trong 2 số có 1 số chẵn((k-1)*(k+1) chia hết 12)
Tuy nhiên chúng là 2 số cùng tính chẵn lẻ, nên k-1= 2x và k+1=2y.
Dễ thấy x,y ko cùng tính chẵn lẻ(nếu ko k-1 và k+1 cùng chia hết cho 4) hay ƯCLN(k-1,k+1)=2, do đó (x,y)=1<1>
Lại có (k-1)*(k+1)=12*$n^2$=4*x*y, do đó 3$n^2$=xy, kết hợp <1> được x=3$p^2$ và y=$q^2$ hoặc x=$p^2$ và y=3$q^2$(với (p,q)=1)
Nếu y=3$q^2$, ta có $p^2$+1=3$q^2$ suy ra $p^2$ chia 3 dư 2, loại.
Nếu y=$q^2$, thay ngay vào phương trình:12$n^2$+1 = $k^2$ được A=2(k+1)=2*2*$q^2$=$(2*q)^2$ được đpcm
Còn bài kia em chưa hiểu đề là thế nào? Anh viết lại giùm nhá.
==================================================
x(x+1)=4y(y+1)=2y(2y+2).Đặt 2y=k vậy x(x+1)=k(k+2). Do x,k thuộc N* nên có x>k. Nếu ko x $\leq$ k, có x+1<k+2 vậy x(x+1)<k(k+2)
Lại có x<k+2 nếu ko x(x+1)>k(k+2). Do đó k<x<k+2 vậy x=k+1. Thay x=k+1 xảy ra vô lí(x(x+1)>k(k+2))(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-10-2011 - 18:48

[nguyenta98]

Câu 1: Phương pháp giải tổng quát là tìm dạng của y theo x để tìm nghiệm
Câu 2: Giải
Trước tiên ta sẽ chứng minh $x*(x+1)=4y*(y+1)$ không có nghiệm nguyên
Ta có khi khai triển ra được:
$x^2+x=4y^2+4y$
suy ra
$x^2+x+1=4y^2+4y+1$
suy ra
$x^2+x+1=(2y+1)^2$

Ta thấy vì x,y >0 ( do chúng nguyên dương)
$x^2<x^2+x+1<(x+1)^2$
suy ra $x^2+x+1$ không thể là số chính phương, do nó bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp
suy ra dpcm
*** trường hợp tồn tại vô số nghiệm hữu tỉ
cũng phân tích như trên được
$x^2+x+1=(2y+1)^2$
Suy ra $(x+1/2)^2+3/4=(2y+1)^2$
Ta đặt
$x+1/2 =a ; 2y+1=b$
Suy ra
$\dfrac{3}{4}=(a-b)(a+b)$
Lại thấy có vô số cặp phân số nhân với nhau được 3/4 suy ra cũng có vô số x, y ( do ta tìm x, y theo bài toán tổng hiệu, biết cả tổng và hiệu)
suy ra $ đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 28-12-2011 - 11:26