Chủ đề này có 5 trả lời

[tungfozo]

với x,y,z là các số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của:

3X / (Y+Z) + 4Y / (Z+X) + 5Z / (X+Y)

[hoangtrong2305]

với x,y,z là các số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của:

3X / (Y+Z) + 4Y / (Z+X) + 5Z / (X+Y)

$\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{5z}{x+y}$

<=> $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}-(\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{x+y}{5z})$

Ta tìm GTNN của $\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{x+y}{5z}$

<=>$\dfrac{y}{3x}+\dfrac{x}{4y}+\dfrac{z}{3x}+\dfrac{x}{5z}+\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{5z}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số thực dương:

$\dfrac{y}{3x}+\dfrac{x}{4y}\geq 2\sqrt{\dfrac{y}{3x}.\dfrac{x}{4y}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{z}{3x}+\dfrac{x}{5z}\geq 2\sqrt{\dfrac{z}{3x}.\dfrac{x}{5z}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}$

$\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{5z}\geq 2\sqrt{\dfrac{z}{4y}.\dfrac{y}{5z}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Cộng lại, ta có: $\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{x+y}{5z}\geq \dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ (1)

Sau đó, ta tìm GTNN của $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}$

$\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}\geq 2\sqrt{\dfrac{3x}{y+z}.\dfrac{y+z}{3x}}=2$

Tương tự, ta có:

$\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}\geq 2$

$\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}\geq 2$

Cộng lại, ta có: $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}\geq 6$ (2)

Từ (1) và (2) => $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{5z}{x+y}\geq 6+\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

=> GTNN của $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{5z}{x+y}=6+\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-11-2011 - 23:51

[tungfozo]

sai rui ban oi

[Ispectorgadget]

Bài này sai ngay từ khúc đầu phải tìm GTLN của $(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{4y}+\dfrac{x+y}{5z})$ chứ Tìm GTNN thì nó sẽ thành dấu $\leq$ vì ngoài ngoặc có dấu -

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-11-2011 - 13:25

[hoangtrong2305]

Oops, thành thật xin lỗi mọi người

[Ispectorgadget]

Đặt a=y+z; b= y+z; c= x+z (a,b,c&gt;0)
=&gt;$ x=\dfrac{b+c-a}{2};y=\dfrac{c+a-b}{2};z=\dfrac{a+b-c}{2}$
Ta có VT= $\dfrac{3(c+b-a)}{2a}+\dfrac{4(a+c-b)}{2b}+\dfrac{5(a+b-c)}{2c}$=$(\dfrac{3b}{2a}+\dfrac{2a}{b})+(\dfrac{3c}{2a}+\dfrac{5a}{2c})+(\dfrac{2c}{a}+\dfrac{5a}{2c})-6\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{\dfrac{15}{4}}+2\sqrt{2}-6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-11-2011 - 17:59