Chủ đề này có 5 trả lời

[Mai Duc Khai]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3:

Chứng minh:
$\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} \le 3\sqrt 2$

[Ispectorgadget]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
VT $\leq \sqrt{(1+1+1)(a+b+c+3)}=\sqrt{3.6}=3\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-11-2011 - 18:19

[Mai Duc Khai]

Bài này áp dụng AM-GM ko biết có ra không? Anh nào làm hộ em với!

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Cách AM-GM đây :
$(a+1) + 2 \overset {AM-GM} {\ge} 2\sqrt{2(a+1)}$
Lập các BĐT tương tự :
$\Rightarrow \sum a + 9 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
hay $12 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a+1} \le 3\sqrt{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$

[Mai Duc Khai]

Cách AM-GM đây :
$(a+1) + 2 \overset {AM-GM} {\ge} 2\sqrt{2(a+1)}$
Lập các BĐT tương tự :
$\Rightarrow \sum a + 9 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
hay $12 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a+1} \le 3\sqrt{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$

Mình vẫn chưa hiểu lắm về bài làm của bạn? Có ai có cách chứng minh bằng AM-GM mà dễ hiểu hơn không

[vietfrog]

Cách AM-GM đây :
$(a+1) + 2 \overset {AM-GM} {\ge} 2\sqrt{2(a+1)}$
Lập các BĐT tương tự :
$\Rightarrow \sum a + 9 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
hay $12 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a+1} \le 3\sqrt{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$

Cách giải trên hoàn toàn đúng rồi. Không biết bạn chưa hiểu chỗ nào?Lần sau bạn nên nêu rõ chỗ bạn chưa hiểu ra nhé! .
Mình trình bày lại như thế này.
Dự đoán được dấu = khi $a=b=c=1$. Khi đó $\sqrt {a + 1} = \sqrt {b + 1} = \sqrt {c + 1} = \sqrt 2 $. Với ý định dùng AM-GM ta sẽ:
Nhân $\sqrt 2 $ vào 2 vế ta được BĐT tương đương:
\[\sqrt 2 .\sqrt {a + 1} + \sqrt 2 .\sqrt {b + 1} + \sqrt 2 .\sqrt {c + 1} \le 6\]
Sử dụng BĐT AM-GM dạng : \[xy \le \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\]
Ta có:
\[\sqrt 2 .\sqrt {a + 1} \le \dfrac{{2 + a + 1}}{2} = \dfrac{{a + 3}}{2}\]
Tương tự: $\sqrt 2 .\sqrt {b + 1} \le \dfrac{{b + 3}}{2}$;$\sqrt 2 .\sqrt {c + 1} \le \dfrac{{c + 3}}{2}$
Cộng 3 BĐT cùng chiều ta được:
$\sqrt 2 .\sqrt {a + 1} + \sqrt 2 .\sqrt {b + 1} + \sqrt 2 .\sqrt {c + 1} \le \dfrac{{a + 3}}{2} + \dfrac{{b + 3}}{2} + \dfrac{{c + 3}}{2} = \dfrac{{a + b + c + 9}}{2} = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6$ (đpcm)