Chủ đề này có 8 trả lời

[Để tử Wallunint]

Các bài hình khó của thầy Thông mình sẽ post cho mọi người cũng làm!
1)Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ bán kính R.Chứng minh: $S_{\triangle ABC}=\dfrac{abc}{4R}$
2)Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ .Tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt tiếp tuyến với đường tròn tại A và C ở M và N.Vẽ BH thẳng góc với AC.Chứng minh: HB là phân giác $\widehat {MHN}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 02-11-2011 - 19:48

[Cao Xuân Huy]

Mình lười vẽ hình quá.
Bài 1:
Kẻ đường cao BH của $\triangle ABC$ và đường kính BK của (O).
Ta dễ dàng có được $\triangle BHC$ đồng dạng $\triangle BAK$ (g-g).
Suy ra: $\dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{BC}}{{BK}} \Rightarrow BH = \dfrac{{AB.BC}}{{BK}} = \dfrac{{ac}}{{2R}}$
Vậy:
$S = \dfrac{{AC.BH}}{2} = \dfrac{{abc}}{{4R}}$

[perfectstrong]

Bài 1:

$\angle BAH=\dfrac{1}{2}\angle BOC=\angle BON$
$\Rightarrow \vartriangle AHB \sim \vartriangle OBN(g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{OB}=\dfrac{HB}{BN} \Rightarrow HB.OB=AH.BN$
Tương tự, $HB.OB=CH.BM \Rightarrow CH.BM=AH.BN \Leftrightarrow CH.AM=AH.CN$
$\Rightarrow \dfrac{CH}{CN}=\dfrac{AH}{AM}$.
Lại có: $\angle MAH=\angle NCH \Rightarrow \vartriangle MAH \sim \vartriangle NCH(c.g.c)$
$\Rightarrow \angle AHM=\angle CHN \Rightarrow \angle MHB=\angle NHB \Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-11-2011 - 22:34

[Để tử Wallunint]

Hay quá!Anh giỏi hình thật....Tiếp theo là các bài có vẻ đơn giản hơn,mong anh giúp!
1)Cho $\triangle ABC$ có O là tâm đường tròn nội tiếp,vẽ $AI\perp BO$,và AI cắt BC ở H.Chứng minh: AOHC nội tiếp
2)Cho $\triangle đều ABC$,E là điểm trên cạnh AC,vẽ $EF\perp AB$.Đường vuông góc với BC tại C cắt EF ở D.Tính các góc $\triangle BKD$
3)$\triangle ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Tiếp tuyến A và B của đường tròn cắt nhau ở P.PC cắt AB ở K.Chứng minh: $\dfrac{AC^2}{BC^2}=\dfrac{AK}{BK}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 05-11-2011 - 21:59

[hoa_giot_tuyet]

Hay quá!Anh giỏi hình thật....Tiếp theo là các bài có vẻ đơn giản hơn,mong anh giúp!
1)Cho $\triangle ABC$ có O là tâm đường tròn nội tiếp,vẽ $AI\perp BO$,và AI cắt BC ở H.Chứng minh: AOHC nội tiếp
2)Cho $\triangle đều ABC$,E là điểm trên cạnh AC,vẽ $EF\perp AB$.Đường vuông góc với BC tại C cắt EF ở D.Tính các góc $\triangle BKD$
3)$\triangle ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Tiếp tuyến A và B của đường tròn cắt nhau ở P.PC cắt AB ở K.Chứng minh: $\dfrac{AC^2}{BC^2}=\dfrac{AK}{BK}$

Bài 1.
http://nf1.upanh.com...37597691.hu.bmp
O là giao điểm 3 đường phân giác nên ta có $\widehat{ABO} + \widehat{BAO} + \widehat{OCB} = 90^o$
Xét tam giác AOI có $\widehat{AOI} = \widehat{ABO} + \widehat{BAO}$
Suy ra $\widehat{AOI} = 90^o - (\widehat{ABO} + \widehat{BAO}) = \widehat{OCB}$
=> tứ giác AOHC nội tiếp
Bài 2 K ở đâu?
p/s: cái định dạng file ảnh k tải đc @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoa_giot_tuyet: 06-11-2011 - 16:49

[perfectstrong]

3)$\triangle ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Tiếp tuyến A và B của đường tròn cắt nhau ở P.PC cắt AB ở K.Chứng minh: $\dfrac{AC^2}{BC^2}=\dfrac{AK}{BK}$

Gọi G là giao điểm của PC và (O).

$\vartriangle ACK \sim \vartriangle GBK (g.g) \Rightarrow \dfrac{AC}{AK}=\dfrac{GB}{GK}$
Tương tự, $\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{GK}{GA}$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{AK}.\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{GB}{GK}.\dfrac{GK}{GA}=\dfrac{GB}{GA}$
$\vartriangle PGB \sim \vartriangle PBC (g.g) \Rightarrow \dfrac{GB}{BC}=\dfrac{PB}{PC}$
Tương tự $\dfrac{GA}{AC}=\dfrac{PA}{PC}$
Mà $PA=PB \Rightarrow \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PB}{PC} \Rightarrow \dfrac{GA}{AC}=\dfrac{GB}{BC}$
$\Rightarrow \dfrac{GA}{GB}=\dfrac{AC}{BC}$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{AC}.\dfrac{BC}{BK}=\dfrac{AC}{BC}$
$\Rightarrow \dfrac{AC^2}{BC^2}=\dfrac{AK}{BK}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-11-2011 - 21:53

[Để tử Wallunint]

Xong!Mời các bạn xem bài tương tự ở đây:
http://diendantoanho...showtopic=64265

2)Cho $\triangle đều ABC$,E là điểm trên cạnh AC,vẽ $EF\perp AB$.Đường vuông góc với BC tại C cắt EF ở D.Tính các góc $\triangle BED$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 08-11-2011 - 08:27

[Để tử Wallunint]

Tiếp tục,hôm nay thấy thông cho 2 bài về nhà!
1)Đường tròn tâm (O) bán kính r nội tiếp hình thang cân ABCD.Biết độ dài đoạn thẳng nối 2 tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 2 cạnh bên bằng b.Tính diện tích hình thang cân
2)Cho $\triangle ABC$ nhọn,Từ M trong tam giác hạ các đường ME,MF,MD vuông góc xuống các cạnh $BC,AB,CA$.Biêt độ dài các cạnh là $a,b,c$ và khoảng cách từ M xuống các cạnh tưởng ứng là $k,m,n$.
Tính tỉ số diện tích $\triangle ABC
$và $\triangle DEF $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Để tử Wallunint: 10-11-2011 - 16:06

[perfectstrong]

Tiếp tục,hôm nay thấy thông cho 2 bài về nhà!
1)Đường tròn tâm (O) bán kính r nội tiếp hình thang cân ABCD.Biết độ dài đoạn thẳng nối 2 tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 2 cạnh bên bằng b.Tính diện tích hình thang cân

Bài 1:

Xét hình thang cân ABCD ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc AB,BC,CD,DE thứ tự tại G,F,H,E.
Bỏ qua TH đơn giản là AD//BC.
Gọi M là giao điểm của DA,BC thì dễ thấy M,G,H thẳng hàng.
Từ gt FE=b. Gọi J là giao điểm của FE và GO.
$JI = \sqrt {I{E^2} - J{E^2}} = \sqrt {{r^2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} $

$I{E^2} = IJ.IM \Rightarrow IM = \dfrac{{I{E^2}}}{{IJ}} = \dfrac{{{r^2}}}{{\sqrt {{r^2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} }} = \dfrac{{2{r^2}}}{{\sqrt {4{r^2} - {b^2}} }}$

$ \Rightarrow JM = IM - JI = \dfrac{{2{r^2}}}{{\sqrt {4{r^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{\sqrt {4{r^2} - {b^2}} }}{2} = \dfrac{{{b^2}}}{{2\sqrt {4{r^2} - {b^2}} }}$

$\dfrac{{AG}}{{JE}} = \dfrac{{MG}}{{MJ}} \Rightarrow AG = \dfrac{{MG.JE}}{{MJ}}$

$\dfrac{{DH}}{{JE}} = \dfrac{{MH}}{{MJ}} \Rightarrow DH = \dfrac{{MH.JE}}{{MJ}}$

$AG + DH = \dfrac{{JE\left( {MG + MH} \right)}}{{MJ}} = \dfrac{{\dfrac{b}{2}.2MI}}{{MJ}} = \dfrac{{bMI}}{{MJ}} = b.\dfrac{{4{r^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{4{r^2}}}{b}$

${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}GH.\left( {AB + CD} \right) = \dfrac{1}{2}.2r.2\left( {AG + DH} \right) = \dfrac{{8{r^3}}}{b}$

Bài 2:
Đặt $ME = k;MF = m;MD = n;BC = a;CA = b;AB = c$
$\angle BAC=x;\alpha ABC=y;\alpha ACB=z$
Hạ MH MD tại H. DMEB là tgnt $\Rightarrow \angle HME=\angle ABC=x$

${S_{DME}} = \dfrac{1}{2}MD.HE = \dfrac{1}{2}MD.ME.\sin HME = \dfrac{1}{2}nk.\sin y$

$\dfrac{{{S_{MDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}nk.\sin y}}{{\dfrac{1}{2}BA.BC.\sin y}} = \dfrac{{nk}}{{ca}}$
Tương tự

$\dfrac{{{S_{MDF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{mn}}{{bc}};\dfrac{{{S_{MFE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{km}}{{ab}}$

$ \Rightarrow \dfrac{{{S_{DFE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{S_{MDE}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{MDF}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{MFE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{nk}}{{cb}} + \dfrac{{mn}}{{bc}} + \dfrac{{km}}{{ab}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-11-2011 - 16:26