Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương
$$5^x-3^y=2$$

[123123talackoka]

xét x=0 lạo.Xét x=1 thì y bằng 1
Xét>2 thì loại

đó anh

[nguyenta98]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương
$$5^x-3^y=2$$

Một năm trời mới làm được bài này, rốt cục cũng xong
Giải như sau:
$$5^x-3^y=2$$
$$\Leftrightarrow 5^x=3^y+2$$
Ta thấy $5^x \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow 3^y \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow y=2b+1$
Mặt khác $3^y+2 \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow 5^x \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow x=2a+1$
Viết lại phương trình $5(5^a)^2-3(3^b)^2=2$
Đặt $x=5^a,y=3^b$
Suy ra $5x^2-3y^2=2$
Nhận thấy phương trình trên là phương trình Pell tổng quát và cách giải như sau:
$Ax^2-By^2=n$ $(1)$
Có nghiệm $(\alpha_1,\beta_1),...,(\alpha_m,\beta_m)$ là tất cả các nghiệm của $(1)$ mà thỏa mãn $\beta_i^2\le max\left(Anb^2,-\dfrac{na^2}{B}\right);i=1,2,3...,m$ và $a,b$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình $a^2-ABb^2=1$
Khi ấy xét $m$ dãy: Dãy thứ $i$ ($i=1,2,3,...,m$) là $(x_{n,i},y_{n,i})$ xác định bởi
$$\left\{\begin{array}{1}x_{0,i}=\alpha_i,y_{0,i}=\beta_i \\x_{n+1,i}=x_{n,i}.a+By_{n,i}.b \\y_{n+1,i}=x_{n,i}Ab+y_{n,i}.a \end{array}\right.$$
Khi đó dãy $(x_{n,i},y_{n,i})$ vét hết nghiệm của $(1)$
$$**********$$
Áp dụng ta có $5x^2-3y^2=2$
Ta xét phương trình tương ứng là $a^2-15b^2=1$ có nghiệm bé nhất là $(a,b)=(4,1)$
Như vậy $\beta_i^2\le max\left(5.2.1^2,-\dfrac{2.4^2}{3}\right) \Rightarrow \beta_i^2\le 10$
Mà ta thấy $5x^2-3y^2=2$ có nghiệm $y=\beta_i$ thỏa $\beta_i^2\le 10$ chỉ có duy nhất $y=1$ do đó $\beta_i=1$ hay có duy nhất một cặp $(\alpha_i,\beta_i)$ nên suy ra $i=1$ nên công thức nghiệm của $5x^2-3y^2=2$ chỉ có một dãy duy nhất và từ công thức trên suy ra
$x_{n+1}=4x_n+3y_n$ và $y_{n+1}=5x_n+4y_n$
Mặt khác $x_t=5^a$ và $y_t=3^b$
Trước tiên ta xét $mod(5)$
Dễ chứng minh $x_{5k+2} \vdots 5$ (bằng lập dãy số dư $(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12})=(1,2,0,3,4,4,3,0,2,1,1,2,0)$ và dãy $(y_0,y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6,y_7,y_8,y_9,y_{10},y_{11},y_{12})=(1,4,1,4,1,4,1,4,1,4,1,4,1)$
Do đó để $x_t$ thỏa được $x_t=5^a$ thì $t$ có dạng $5k+2$ hoặc $t=0$ khi đó $5^a=x_0=1$
Tiếp tục xét $mod(11)$ ta cũng lập dãy số dư và dễ cm được $x_{5k+2} \vdots 11$ bằng cách lập dãy số dư
$(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12})=(1,7,0,4,10,10,4,0,7,1,1,7,0)$ và dãy $(y_0,y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6,y_7,y_8,y_9,y_{10},y_{11},y_{12})=(1,9,5,9,1,10,2,6,2,10,1,9,5)$
Như vậy $x_t \vdots 11$ khi và chỉ khi $t=5k+2$
Kết hợp hai điều trên suy ra $5^a \vdots 11$ mâu thuẫn
Do đó $x_0$ và $y_0$ là thỏa đề khi ấy $5^a=3^b=1 \Rightarrow a=b=0 \rightarrow x=1,y=1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $\boxed{(x,y)=(1,1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-08-2012 - 10:51