Chúng ta hãy cùng theo dõi sự biến đổi từ bđt này thành những bđt mà chúng ta hay dùng nhé
• $(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ $(*)$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+2ab\geq 4ab\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab$
$\Leftrightarrow \left ( \dfrac{a+b}{2} \right )^{2}\geq ab$ $(1)$
$(*)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+a^{2}+b^{2}\geq 2ab+a^{2}+b^{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \left ( \dfrac{a+b}{2} \right )^{2}$ $(2)$
Từ (1) và (2), với mọi a; b ta có:
$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \left ( \dfrac{a+b}{2} \right )^{2}$
Từ (1), với $a\geq 0; b\geq 0$ ta có bđt AM-GM:
$\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ $(3)$
Với a>0 ; b>0 ta có:
$(*)\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}\geq 2\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2$ $(4)$
$(1)\Leftrightarrow \dfrac{(a+b)^{2}}{ab}\geq 4\Leftrightarrow (a+b)\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right )\geq 4$ $(5)$
Từ (4) và (5), với a > 0 ; b > 0 ; c > 0 ta có:
$(a+b)\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right )+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+1\geq 9$
$\Leftrightarrow (a+b)\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right )+c\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right )+\dfrac{a+b+c}{c}\geq 9$
$\Leftrightarrow (a+b+c)\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )\geq 9$ $(6)$
Áp dụng $(6)$ ta có bđt Nesbit:
$[(a+b)+(b+c)+(c+a)]\left ( \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right )\geq 9$
$\Leftrightarrow 2(a+b+c)\left ( \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right )\geq 9$
$\Leftrightarrow 1+\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}\geq \dfrac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\geq \dfrac{3}{2}$ $(7)$
Áp dụng $(*)$ với mọi a; b; c; d ta có bđt Bunhiacopxki:
$(ad)^{2}+(bc)^{2}\geq 2abcd$
$\Leftrightarrow a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\geq 2ac.bd+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}$
$\Leftrightarrow |ac+bd|\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$ $(8)$
Với c > 0 ; d > 0 ta có:
$(**)\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}}{cd}\geq 2ab$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}}{c}d+\dfrac{b^{2}}{d}c\geq 2ab$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}}{c}d+\dfrac{b^{2}}{d}c+a^{2}+b^{2}\geq 2ab+a^{2}+b^{2}$
$\Leftrightarrow \left ( \dfrac{a^{2}}{c}+\dfrac{b^{2}}{d} \right )(c+d)\geq (a+b)^{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}}{c}+\dfrac{b^{2}}{d}\geq \dfrac{(a+b)^{2}}{c+d}$ $(9)$
Áp dụng $(9)$ ta có bđt Svac:
$\dfrac{x_{1}^{2}}{a_{1}}+\dfrac{x_{2}^{2}}{a_{2}}+...+\dfrac{x_{n}^{2}}{a_n} \geq \dfrac{(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})}{a_{1}+a_{2}+... a_n}(10)$
(Trong đó $a_1; a_2; ... ; a_n$ là các số dương)
Như vậy có thể khẳng định rằng rất nhiều bđt quan trọng, có ứng dụng rất lớn đều khởi nguồn từ bđt hiển nhiên đúng $(a-b)^{2}\geq 0$.
Còn rất nhiều bđt khác là hệ quả của bđt $(a-b)^{2}\geq 0$ đang chờ các bạn khám phá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-11-2011 - 20:25
