Và cho mình hỏi có ai có tài liệu (ebook, sách…) về dãy ứng dụng tính chất của dãy Cauchy để tìm giới hạn của dãy số không? Cho mình xin link với.
Cảm ơn cả nhà nhiều :X
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mitsuru: 04-11-2011 - 22:14
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mitsuru: 04-11-2011 - 22:14
Đi có thể không đến.... Nhưng không đi thì sẽ KHÔNG BAO GIỜ đến!
Giả sử $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy. Ta có dãy Cauchy là dãy giới nội. Theo định lý Bolzano - Weierstrass, có thể trích ra một dãy con hội tụ $\left\{ {{x_{{n_k}}}} \right\}$.Chứng minh “Dãy Cauchy thì hội tụ”.
Cho em hỏi định nghĩa chính xác của dãy Cauchy là gì ạ?
Giả sử $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy. Ta có dãy Cauchy là dãy giới nội. Theo định lý Bolzano - Weierstrass, có thể trích ra một dãy con hội tụ $\left\{ {{x_{{n_k}}}} \right\}$.
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = L$. Ta sẽ chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$.
Thật vậy, ta có:$$\left| {{x_n} - L} \right| \le \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| + \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right|$$
Vì ${x_{{n_k}}} \to L$ nên với mọi $\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists {u_1} \in {N^*}\,\,:\,\,{n_k} \ge {u_1} \Rightarrow \left| {{x_{{n_k}}} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$
Vì $\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy Cauchy nên $\exists {u_2} \in {N^*}\,\,:\,\,n \ge {u_2},{n_k} \ge {u_2} \Rightarrow \left| {{x_n} - {x_{{n_k}}}} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}$.
Đặt ${u_0} = m{\rm{ax}}\left( {{u_1},{u_2}} \right)$. Ta có với $n \ge {u_0}$: $\left| {{x_n} - L} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2} + \dfrac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = L$ tức dãy Cauchy hội tụ.
---------------------------------
Chú ý: Mọi dãy hội tụ là Cauchy còn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ.
Đối với dãy số thực (ta đang xét) thì có thể xem dãy Cauchy và dãy hội tụ là tương đương nhau nhưng khi học về Giải tích hàm thì sẽ có những dãy là Cauchy nhưng không hội tụ.
Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Alpha $\alpha$
Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh