Chủ đề này có 5 trả lời

[Ispectorgadget]

Bài 1:Cho a,b,c thực dương thỏa mãn a+b+c=2 cmr
$\dfrac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2a+cb}}+\dfrac{ac}{\sqrt{2b+ac}}\leq 1$
Bài 2: Cho a,b,c thực dương thỏa abc$\geq 1$
Chưng minh rằng $(a+\dfrac{1}{a+1}).(b+\dfrac{1}{b+1}).(c+\dfrac{1}{c+1})\geq \dfrac{27}{8}$
Bài 3:Cho 3 số x,y,z thực dương thỏa z(x+y+z)=xy
CM: $(x+z)^4+(y+z)^4<(x+y)^4$

[minhducqhhehe]

mình làm bài 1:
2c+ab =(a+b+c)c+ab=ac+bc+c²+ab=(b+c)(a+c)
mà ta có,theo BĐT côsi:
$\sqrt{\dfrac{1}{(b+c)(a+c)}}$ $\leq $ $\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{b+c}$ +$\dfrac{1}{a+c})$
nên:
$\dfrac{ab}{\sqrt{2c+ab}}$ $\leq$ $\dfrac{ab}{2}(\dfrac{1}{b+c}$ +$\dfrac{1}{a+c})$
lập luận tương tự,cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều,ta có:
P $\leq $ $\dfrac{a+b+c}{2}$ =1 dpcm

[minhducqhhehe]

tiếp bài số 2
$\a+\frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{4}(a+1)$


$ \Leftrightarrow \frac{a^{2}+a+1}{a+1}\geq \frac{3a+3}{4}$


$\Leftrightarrow 4(a^{2}+a+1)\geq 3(a+1)^{2}$

$\Leftrightarrow (a-1)^{2}\geq 0$

áp dụng ta có$\(a+\frac{1}{a+1})(b+\frac{1}{b+1})(c+\frac{1}{c+1})\geq \frac{27}{64}(a+1)(b+1(c+1))$


$ \geq \frac{27}{64} 8 \sqrt{abc}\geq \frac{27}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducqhhehe: 23-11-2011 - 19:25

[MIM]

tiếp bài số 2
$\a+\frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{4}(a+1)$

sao lại có $\a+\frac{1}{a+1}\geq \frac{3}{4}(a+1)$ vậy?????

[Poseidont]

Bài 9 nha:
Đặt a+1=x, b+1 =y , c+1= z
=> a=x-1, b=y-1,c=z-1
VT= $(x-1+\dfrac{1}{x})(y-1+\dfrac{1}{y})(z-1+\dfrac{1}{z})$

Áp dụng bdt cosi ta co$\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{\dfrac{x}{4}\dfrac{1}{x}}=1$
$\dfrac{y}{4}+\dfrac{1}{y}\geq 1$

$\dfrac{z}{4}+\dfrac{1}{z}\geq 1$
=> VT$\geq \dfrac{3x}{4}.\dfrac{3y}{4}\dfrac{3z}{4}=\dfrac{27.x.y.z}{64}$ (1)

Ta lại có $x.y.z=(a+1).(b+1).(c+1)=abc+ab+bc+ca+1+a+b+c$

Áp dụng bđt co si
$ ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3 $

$ a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3$

$\Rightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\geq 8 (2) $

Từ 1,2 $ \Rightarrow $ đpcm

bài 10
đặt
b+c=x,c+a=y.a+b=z
=>$yz=a^{2}+bc+ca+ab\Rightarrow a^{2}+bc=yz -ca+ab=yz -ax$
$b^{2}+ca=xz-by$
$c^{2}+ca=xy-cz$
VT= $\dfrac{yz}{x} - a +\dfrac{xz}{y} - b +\dfrac{xy}{z} - c$
dễ dàng chứng minh đc
$\dfrac{yz}{x} +\dfrac{xz}{y} +\dfrac{xy}{z}\geq x+ y+z=2(a+b+c)$
=> dpcm

[Ispectorgadget]

Điểm có hoàng độ $x_{0}=1$ có tung độ y$=\frac{3}{4}(a+1)$