1 reply to this topic

[Zaraki]

Chứng minh $5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n) \vdots 91 $ với $\forall n \in \mathbb{N}$.

[hxthanh]

$A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)=(25)^n+5^n-(18)^n-(12)^n$

Xét modulo $7$, ta có:

$(25)^n \equiv 4^n \pmod{7}$
$-(18)^n \equiv -4^n \pmod{7}$
$-(12)^n \equiv -5^n \pmod{7}$
$5^n \equiv 5^n \pmod{7}$
Cộng các vế đồng dư thức lại ta có: $A \equiv 0 \pmod{7}$


Xét modulo $13$, ta có:

$(25)^n \equiv (-1)^n \pmod{13}$
$-(18)^n \equiv -5^n \pmod{13}$
$-(12)^n \equiv -(-1)^n \pmod{13}$
$5^n \equiv 5^n \pmod{13}$
Cộng các vế đồng dư thức lại ta có: $A \equiv 0 \pmod{13}$

Vì $gcd(7,13)=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\;A \;\;\vdots\;\;7.13=91$