Chủ đề này có 1 trả lời

[khacduongpro_165]

Cho hàm $f(x)$ liên tục và có tập giá trị là $R$. thỏa $f(0)=2: f'(0)=-2: f(1)=1$
Chứng minh tồn tại $a$ thuộc $(0,1)$ để $f(a) .f'(a) +f"(a) =0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 25-12-2011 - 20:35

[Crystal]

Cho hàm $f(x)$ liên tục và có tập giá trị là $R$. thỏa $f(0)=2: f'(0)=-2: f(1)=1$
Chứng minh tồn tại $a$ thuộc $(0,1)$ để $f(a) .f'(a) +f"(a) =0$

Xét hàm số: $$g\left ( x \right )=\dfrac{1}{2}f^{2}\left ( x \right )+{f}'\left ( x \right ),\; x\in \mathbb{R}$$
Ta có: $g\left ( 0 \right )=0$ và với mỗi $x$: $${g}'\left ( x \right )=f\left ( x \right ){f}'\left ( x \right )+{f}''\left ( x \right )$$
Theo định lí Rolle, ta cần chứng minh tồn tại $a\in \left ( 0,1 \right )\; \; sao\; \; cho\; \; g\left ( a \right )=0$.

Xét hai trường hợp:

a) $f\left ( x \right )\neq 0\; \forall x\in \left [ 0,1 \right ]$.

Khi đó đặt: $h\left ( x \right )=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{f\left ( x \right )},x\in \left [ 0,1 \right ]$ ta có hàm $h$ xác định trên $\left [ 0,1 \right ]$ và ${h}'\left ( x \right )=\dfrac{g\left ( x \right )}{f^{2}\left ( x \right )}$

Vì $h\left ( 0 \right )=h\left ( 1 \right )=-\dfrac{1}{2}$ nên áp dụng định lí Rolle cho hàm $h$, tồn tại $a\in \left ( 0,1 \right )\; sao\; cho\; {h}'\left ( x \right )=0$

Do đó: $$g\left ( a \right )=f^{2}\left ( a \right ){h}'\left ( a \right )=0$$

b) Tồn tại $x\in \left [ 0,1 \right ]\; sao\; cho\; f\left ( x \right )=0$.

Khi đó gọi $$y_{1}=inf\left \{ x\in \left [ 0,1 \right ]:f\left ( x \right )=0 \right \}\; \; và\; \; y_{2}=sup\left \{ x\in \left [ 0,1 \right ] :f\left ( x \right )=0\right \}$$

Từ tính liên tục của hàm $f$ và tính chất của $inf$ và $sup$ ta có: $f\left ( y_{1} \right )=f\left ( y_{2} \right )=0$

Do đó: $0<y_{1}\leq y_{2}<1$. Mặt khác $f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {0,{y_1}} \right) \cup \left( {{y_2},1} \right]$

Suy ra $$g\left ( y_{1} \right )={f}'\left ( y_{1} \right )\leq 0\; \; và\; \; g\left ( y_{2} \right )={f}'\left ( y_{2} \right )\geq 0$$

Do đó tồn tại $$a\in \left [ y_{1} ,y_{2}\right ]\subset \left ( 0,1 \right )\; \; sao\; \; cho\; \; g\left ( a \right )=0\; \; hay\; \; f\left ( a \right ){f}'\left ( a \right )+{f}''\left ( a \right )=0$$

Vậy bài toán đã được giải quyết hoàn toàn.