$ \dfrac{a}{a^{3}+1}+\dfrac{b}{b^{3}+1}+\dfrac{c}{c^{3}+1}\leq \dfrac{27}{28}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 09-11-2011 - 14:41
Chứng minh $ \dfrac{a}{a^{3}+1}+\dfrac{b}{b^{3}+1}+\dfrac{c}{c^{3}+1}\leq \dfrac{27}{28}$ với $x+y+z=1$
Bắt đầu bởi HÀ QUỐC ĐẠT, 09-11-2011 - 14:41
#1
Đã gửi 09-11-2011 - 14:41
HÀ QUỐC ĐẠT
-
- Thành viên
-
- 295 Bài viết
Thượng sĩ
Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh
$ \dfrac{a}{a^{3}+1}+\dfrac{b}{b^{3}+1}+\dfrac{c}{c^{3}+1}\leq \dfrac{27}{28}$
$ \dfrac{a}{a^{3}+1}+\dfrac{b}{b^{3}+1}+\dfrac{c}{c^{3}+1}\leq \dfrac{27}{28}$
#2
Đã gửi 09-11-2011 - 19:03
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Ta có đánh giá sau: $\dfrac{351}{392}.(a-\dfrac{1}{3})+\dfrac{9}{28}-\dfrac{a}{a^3+1}\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{351a^4-41a+9a^3+9}{392(a^3+1)}\geq 0$
(chỗ này mình không biết tách tử số nên làm đại không biết đúng không
)$\dfrac{(a-\dfrac{1}{3})(351a^3+126x^2+42x-27)}{392(a^3+1)}\geq 0$
Do đó $\dfrac{351}{392}.(a-\dfrac{1}{3})+\dfrac{9}{28}-\dfrac{a}{a^3+1}\geq 0$
tương tự ta có $\dfrac{351}{392}.(b-\dfrac{1}{3})+\dfrac{9}{28}-\dfrac{b}{b^3+1}\geq 0$
$\dfrac{351}{392}.(c-\dfrac{1}{3})+\dfrac{9}{28}-\dfrac{c}{c^3+1}\geq 0$
=>$\dfrac{315}{392}(a+b+c)-\dfrac{3.117}{392}+\dfrac{9.3}{28}=\dfrac{27}{28}\geq \dfrac{a}{a^3+1}+\dfrac{b}{b^3+1}+\dfrac{c}{c^3+1}$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3
Mình sửa lại bài này ở cái chỗ x nằm trong (0;1) mình không chắc cho lắm
(chỗ này mình không biết tách tử số nên làm đại không biết đúng không
)$\dfrac{(a-\dfrac{1}{3})(351a^3+126x^2+42x-27)}{392(a^3+1)}\geq 0$Do đó $\dfrac{351}{392}.(a-\dfrac{1}{3})+\dfrac{9}{28}-\dfrac{a}{a^3+1}\geq 0$
tương tự ta có $\dfrac{351}{392}.(b-\dfrac{1}{3})+\dfrac{9}{28}-\dfrac{b}{b^3+1}\geq 0$
$\dfrac{351}{392}.(c-\dfrac{1}{3})+\dfrac{9}{28}-\dfrac{c}{c^3+1}\geq 0$
=>$\dfrac{315}{392}(a+b+c)-\dfrac{3.117}{392}+\dfrac{9.3}{28}=\dfrac{27}{28}\geq \dfrac{a}{a^3+1}+\dfrac{b}{b^3+1}+\dfrac{c}{c^3+1}$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3
Mình sửa lại bài này ở cái chỗ x nằm trong (0;1) mình không chắc cho lắm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-11-2011 - 22:09
- Zaraki yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 11-11-2011 - 20:21
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Hình như bạn ispectorgadget làm nhầm một đoạn thì phải
Nếu thay a=2/7 thì cái biểu thức mà bạn phân tích ra sẽ bé hơn 0
Bạn thử kiểm tra xem
Dù sao mình cũng rất cám ơn bạn vì đã đóng góp cho dien dan toan nói chung và mình nói riêng một cách giải hay.
Nếu thay a=2/7 thì cái biểu thức mà bạn phân tích ra sẽ bé hơn 0
Bạn thử kiểm tra xem
Dù sao mình cũng rất cám ơn bạn vì đã đóng góp cho dien dan toan nói chung và mình nói riêng một cách giải hay.
#4
Đã gửi 11-11-2011 - 20:54
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Mình có cách này :
$a^3 +1 = a^3 + \dfrac{1}{27}.27\ge 28\sqrt[28]{\dfrac{a^3}{27^{27}}} $
$\Rightarrow \dfrac{a}{a^3+1}\leq \dfrac{\sqrt[28]{27^{27}.a^{25}}}{28}$
Lại có :
$25.a + 3.\dfrac{1}{3} \geq 28 \sqrt[28]{\dfrac{a^{25}}{27}}$
Lập các bđt tương tự :
$\Rightarrow \sum \sqrt[28]{\dfrac{a^{25}}{27}}\leq 1 $
$\Rightarrow \sum \dfrac{\sqrt[28]{27^{27}.a^{25}}}{28} \leq \dfrac{27}{28}$
$\Rightarrow Q.E.D$
$a^3 +1 = a^3 + \dfrac{1}{27}.27\ge 28\sqrt[28]{\dfrac{a^3}{27^{27}}} $
$\Rightarrow \dfrac{a}{a^3+1}\leq \dfrac{\sqrt[28]{27^{27}.a^{25}}}{28}$
Lại có :
$25.a + 3.\dfrac{1}{3} \geq 28 \sqrt[28]{\dfrac{a^{25}}{27}}$
Lập các bđt tương tự :
$\Rightarrow \sum \sqrt[28]{\dfrac{a^{25}}{27}}\leq 1 $
$\Rightarrow \sum \dfrac{\sqrt[28]{27^{27}.a^{25}}}{28} \leq \dfrac{27}{28}$
$\Rightarrow Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 11-11-2011 - 20:57
- Ispectorgadget và HÀ QUỐC ĐẠT thích
#5
Đã gửi 11-11-2011 - 21:34
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Hình như bạn ispectorgadget làm nhầm một đoạn thì phải
Nếu thay a=2/7 thì cái biểu thức mà bạn phân tích ra sẽ bé hơn 0
Bạn thử kiểm tra xem
Dù sao mình cũng rất cám ơn bạn vì đã đóng góp cho dien dan toan nói chung và mình nói riêng một cách giải hay.
Cái phần đánh giá của mình chắc sai rồi.
mà không biết sai chỗ nào bạn kiểm tra lại dùm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-11-2011 - 22:17
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#6
Đã gửi 12-11-2011 - 08:23
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
Cách của em xài là phương pháp tiếp tuyến đường cong,cũng có rất nhiều ứng dụng trong BĐT.
Cái phần đánh giá của mình chắc sai rồi.
Mà bài của em phân tích đúng rồi đó,không sai đâu
- Ispectorgadget yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#7
Đã gửi 12-11-2011 - 13:15
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Híc phần phân tích thì chắc đúng mà em không biết phân tích thành nhân tử để chứng minh cho nó $\geq 0$ làm sao hết >.<
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#8
Đã gửi 12-11-2011 - 18:29
HÀ QUỐC ĐẠT
-
- Thành viên
-
- 295 Bài viết
Thượng sĩ
Ngoài cách dùng AM-GM như của bạn PRONOOBCHICKENHANDSOME,mình làm thế này
Ta chứng minh:
$\dfrac{a}{a^{3}+1}\leq \dfrac{9}{28}+\dfrac{675}{784}(a-\dfrac{1}{3})$
các trường hợp còn lại làm tương tự cộng lại ta được bất đẳng thức cần chứng minh
Ta chứng minh:
$\dfrac{a}{a^{3}+1}\leq \dfrac{9}{28}+\dfrac{675}{784}(a-\dfrac{1}{3})$
các trường hợp còn lại làm tương tự cộng lại ta được bất đẳng thức cần chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 12-11-2011 - 18:30
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
