Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChuDong2008: 10-11-2011 - 07:38
Cho số thực a thỏa mãn: $a^5-a^3+a-2=0 $. Chứng minh $3< a^6 < 4$
Bắt đầu bởi ChuDong2008, 10-11-2011 - 07:38
#1
Đã gửi 10-11-2011 - 07:38
ChuDong2008
-
- Thành viên
-
- 119 Bài viết
Trung sĩ
Chứng minh $ 3< a^6 < 4 $
1 + 1 = 2 thì 2 - ..?... = 1 ? " Đau đầu quá! "
#2
Đã gửi 10-11-2011 - 13:38
hxthanh
-
- Hiệp sỹ
-
- 3921 Bài viết
Tín đồ $\sum$
Từ giả thiết ta có:
$a^5-a^3+a-2=(a^2-a+1)(a^3+a^2-a-2)=0\Rightarrow a^3=-a^2+a+2$
Do đó: $a^5=a^3-a+2=4-a^2\Rightarrow a^5+a^2=4\;\;\;(1)$
Từ (1) suy ra $1<a<2$ nếu không thì vô lý!
Do đó ta có:
$a^6\le a^7=a^2(4-a^2)< 4$ (AM-GM cho 2 số $a^2,4-a^2$. Dấu = không xảy ra vì $a^2=2$ không thoả mãn)
$$
$a^5-a^3+a-2=(a^2-a+1)(a^3+a^2-a-2)=0\Rightarrow a^3=-a^2+a+2$
Do đó: $a^5=a^3-a+2=4-a^2\Rightarrow a^5+a^2=4\;\;\;(1)$
Từ (1) suy ra $1<a<2$ nếu không thì vô lý!
Do đó ta có:
$a^6\le a^7=a^2(4-a^2)< 4$ (AM-GM cho 2 số $a^2,4-a^2$. Dấu = không xảy ra vì $a^2=2$ không thoả mãn)
$$
- perfectstrong yêu thích
#3
Đã gửi 15-11-2011 - 08:00
minhducqhhehe
-
- Thành viên
-
- 28 Bài viết
Binh nhất
mình giải trường hợp a6 $\geq$ 3
dễ thấy a5 -a3 +a =2
nhân 2 vế cho (a+$\dfrac{1}{a}$) ta có
(a+$\dfrac{1}{a}$)(a5 -a3 +a)=2(a+$\dfrac{1}{a}$)
a6+1=2(a+$\dfrac{1}{a}$) > 2.2=4
suy ra a6>3.
dễ thấy a5 -a3 +a =2
nhân 2 vế cho (a+$\dfrac{1}{a}$) ta có
(a+$\dfrac{1}{a}$)(a5 -a3 +a)=2(a+$\dfrac{1}{a}$)
a6+1=2(a+$\dfrac{1}{a}$) > 2.2=4
suy ra a6>3.
- MIM và minhducqhhehe thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
