$\int_{1}^{+\infty }xe^{-x^{2}}dx$
Tính tích phân suy rộng $\int_{1}^{+\infty }xe^{-x^{2}}dx$
Bắt đầu bởi anhtuan93, 11-11-2011 - 11:49
#1
Đã gửi 11-11-2011 - 11:49
#2
Đã gửi 11-11-2011 - 13:12
Ta có: $$I = \int\limits_1^{ + \infty } x {e^{ - {x^2}}}dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {x{e^{ - {x^2}}}dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } } \int\limits_1^b {\left( { - \dfrac{1}{2}d\left( {{e^{ - {x^2}}}} \right)} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left. {\left( { - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right)} \right|_1^b$$$$I=\int_{1}^{+\infty }xe^{-x^{2}}dx$$
$$ = - \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {{e^{ - {b^2}}} - {e^{ - 1}}} \right) = - \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{e^{{b^2}}}}} - \dfrac{1}{e}} \right) = \dfrac{1}{{2e}}\,\,\,\,\left( {do\,\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \dfrac{1}{{{e^{{b^2}}}}} = 0\,} \right)$$
Vậy $\boxed{I = \dfrac{1}{{2e}}}$.
- inhtoan yêu thích
#3
Đã gửi 12-11-2011 - 12:32
@anhtuan93: Cách giải các bài toán tích phân suy rộng của bạn đưa ra: Cách giải tích phân cơ bản mà bạn được học lớp 12 sau đó chuyển qua giới hạn (Cũng có thể chuyển qua giới hạn rồi tính tích phân, và...cũng có thể để nguyên như thế để tính, các thầy cô không bắt bẻ bạn khi bạn tính tích phân như thế, nhưng bản chất của tích phân suy rộng thì bạn phải hiểu được).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vũ Sơn: 15-11-2011 - 09:02
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh