2 replies to this topic

[anhtuan93]

$\int_{1}^{+\infty }xe^{-x^{2}}dx$

[Crystal]

$$I=\int_{1}^{+\infty }xe^{-x^{2}}dx$$

Ta có: $$I = \int\limits_1^{ + \infty } x {e^{ - {x^2}}}dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {x{e^{ - {x^2}}}dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } } \int\limits_1^b {\left( { - \dfrac{1}{2}d\left( {{e^{ - {x^2}}}} \right)} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left. {\left( { - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right)} \right|_1^b$$
$$ = - \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {{e^{ - {b^2}}} - {e^{ - 1}}} \right) = - \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{e^{{b^2}}}}} - \dfrac{1}{e}} \right) = \dfrac{1}{{2e}}\,\,\,\,\left( {do\,\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \dfrac{1}{{{e^{{b^2}}}}} = 0\,} \right)$$
Vậy $\boxed{I = \dfrac{1}{{2e}}}$.

[Vũ Sơn]

@anhtuan93: Cách giải các bài toán tích phân suy rộng của bạn đưa ra: Cách giải tích phân cơ bản mà bạn được học lớp 12 sau đó chuyển qua giới hạn (Cũng có thể chuyển qua giới hạn rồi tính tích phân, và...cũng có thể để nguyên như thế để tính, các thầy cô không bắt bẻ bạn khi bạn tính tích phân như thế, nhưng bản chất của tích phân suy rộng thì bạn phải hiểu được).

Edited by Vũ Sơn, 15-11-2011 - 09:02.