Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 cobengocnghech

cobengocnghech

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 17-11-2011 - 22:29

Tính các giới hạn sau:
1/ $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \dfrac{n}{4n^{2}-1}+\dfrac{n}{4n^{2}-2^{2}}+...+\dfrac{n}{4n^{2}-(n-1)^{2}} \right )$
2/ $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-11-2011 - 22:42

Tính các giới hạn sau:
1/ $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \dfrac{n}{4n^{2}-1}+\dfrac{n}{4n^{2}-2^{2}}+...+\dfrac{n}{4n^{2}-(n-1)^{2}} \right )$

Đặt $${S_n} = \dfrac{n}{{4{n^2} - 1}} + \dfrac{n}{{4{n^2} - {2^2}}} + ... + \dfrac{n}{{4{n^2} - {{(n - 1)}^2}}} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\dfrac{1}{{4 - {{\left( {\dfrac{i}{n}} \right)}^2}}}} $$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{4 - {x^2}}}$ khả tích trên $\left[ {0,1} \right]$.

Chia đoạn $\left[ {0,1} \right]$ bởi các điểm ${x_i} = \dfrac{i}{n}$, chọn điểm ${c_i} = \dfrac{i}{n} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right],\,\,i = \overline {1,n-1} $

Khi đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\dfrac{1}{{4 - {{\left( {\dfrac{i}{n}} \right)}^2}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {f\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} } \right)$$
$$ = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{4 - {x^2}}}} } = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}}} \right|} \right)} \right|_0^1 = \boxed{\dfrac{{\ln 3}}{4}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 17-11-2011 - 22:45


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-11-2011 - 22:51

Tính các giới hạn sau:
2/ $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$

Ta có: $$x + {x^2} + ... + {x^n} - n = \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) + ... + \left( {{x^n} - 1} \right)$$
$$ = \left( {x - 1} \right)\left( {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)} \right)$$
Do đó: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)} \right)$$
$$ = 1 + 2 + 3 + ... + n = \boxed{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}$$

#4 Lê Xuân Trường Giang

Lê Xuân Trường Giang

    Iu HoG mA nhIn ?

  • Thành viên
  • 777 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV PTIT
  • Sở thích:Cố gắng hết mình!

Đã gửi 21-11-2011 - 18:57

Bài này còn có thể làm theo Lopitan nữa đúng không các bạn ?
:closedeyes:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 21-11-2011 - 18:58

Tuổi thanh niên đó là ước mơ. Đó là niềm tin. Đó là sự vươn lên tới chiến công. Đó là trữ tình và lãng mạn. Đó là những kế hoạch lớn lao cho tương lai. Đó là mở đầu của tất cả các viễn cảnh
N.HÍCHMÉT




Khó + Lười = Bất lực

#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-11-2011 - 19:28

Bài này còn có thể làm theo Lopitan nữa đúng không các bạn ?
:closedeyes:

Đúng thế bạn à. Do biểu thức lấy $lim$ có dạng vô định $\left( {\dfrac{0}{0}} \right)$ nên dùng quy tắc L'Hospital ta có:
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + 2x + ... + n{x^{n - 1}}} \right) = 1 + 2 + ... + n = \boxed{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh