4 replies to this topic

[cobengocnghech]

Tính các giới hạn sau:
1/ $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \dfrac{n}{4n^{2}-1}+\dfrac{n}{4n^{2}-2^{2}}+...+\dfrac{n}{4n^{2}-(n-1)^{2}} \right )$
2/ $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$

[Crystal]

Tính các giới hạn sau:
1/ $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \dfrac{n}{4n^{2}-1}+\dfrac{n}{4n^{2}-2^{2}}+...+\dfrac{n}{4n^{2}-(n-1)^{2}} \right )$

Đặt $${S_n} = \dfrac{n}{{4{n^2} - 1}} + \dfrac{n}{{4{n^2} - {2^2}}} + ... + \dfrac{n}{{4{n^2} - {{(n - 1)}^2}}} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\dfrac{1}{{4 - {{\left( {\dfrac{i}{n}} \right)}^2}}}} $$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{4 - {x^2}}}$ khả tích trên $\left[ {0,1} \right]$.

Chia đoạn $\left[ {0,1} \right]$ bởi các điểm ${x_i} = \dfrac{i}{n}$, chọn điểm ${c_i} = \dfrac{i}{n} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right],\,\,i = \overline {1,n-1} $

Khi đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\dfrac{1}{{4 - {{\left( {\dfrac{i}{n}} \right)}^2}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {f\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} } \right)$$
$$ = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{4 - {x^2}}}} } = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}}} \right|} \right)} \right|_0^1 = \boxed{\dfrac{{\ln 3}}{4}}$$

Edited by xusinst, 17-11-2011 - 22:45.

[Crystal]

Tính các giới hạn sau:
2/ $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$

Ta có: $$x + {x^2} + ... + {x^n} - n = \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) + ... + \left( {{x^n} - 1} \right)$$
$$ = \left( {x - 1} \right)\left( {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)} \right)$$
Do đó: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)} \right)$$
$$ = 1 + 2 + 3 + ... + n = \boxed{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}$$

[Lê Xuân Trường Giang]

Bài này còn có thể làm theo Lopitan nữa đúng không các bạn ?

Edited by Lê Xuân Trường Giang, 21-11-2011 - 18:58.

[Crystal]

Bài này còn có thể làm theo Lopitan nữa đúng không các bạn ?

Đúng thế bạn à. Do biểu thức lấy $lim$ có dạng vô định $\left( {\dfrac{0}{0}} \right)$ nên dùng quy tắc L'Hospital ta có:
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + 2x + ... + n{x^{n - 1}}} \right) = 1 + 2 + ... + n = \boxed{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}$$