Chủ đề này có 2 trả lời

[kjetku1993]

giúp em chứng minh dãy số sau với:
$1/ 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ không là dãy côsi

$2/ 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...+\dfrac{1}{n^{2}}$ là dãy côsi

mod: Bạn nên gõ Latex lên tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 22-11-2011 - 10:29

[Crystal]

giúp em chứng minh dãy số sau với:
$1/ 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ không là dãy côsi

$2/ 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...+\dfrac{1}{n^{2}}$ là dãy côsi

Hai bài này đã có ở đây nhưng chỉ có lời giải cho bài 1. Mình xin tiếp lời giải cho bài 2.

Ta chứng minh dãy $1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ...+\dfrac{1}{{{n^2}}}$ hội tụ.

Thật vậy, rõ ràng $1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ...+\dfrac{1}{{{n^2}}}$ là dãy tăng. Mặt khác:
$$1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + ...+\dfrac{1}{{{n^2}}} < 1 + \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}}$$
$$ = 1 + \left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}} \right) = 2 - \dfrac{1}{n} < 2$$
Vậy $1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} +...+ \dfrac{1}{{{n^2}}}$ hội tụ và ta đã chứng minh được $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} +...+ \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{6}$.
Đây chính là hàm $Zeta$ với $z=2$, bạn có thể xem chi tiết ở đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 22-11-2011 - 10:28

[Crystal]

giúp em chứng minh dãy số sau với:
$1/ 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ không là dãy côsi

Bài này giải theo kiểu Tiêu chuẩn Cauchy.

Đặt ${u_n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n}$.

Ta có: $\left| {{u_{2n}} - {u_n}} \right| = \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} \ge n.\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}$.

Điều này chứng tỏ $\left\{ {{u_n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n}} \right\}$ không phải là dãy Cauchy.