Chủ đề này có 12 trả lời

[minhson95]

cho các số thực $x, y, z$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=3$. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$A=x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 22-11-2011 - 20:15

[HÀ QUỐC ĐẠT]

cho các số thực $x, y, z$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=3$. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$A=x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)$

Xét x,y,z là các số dương
Ta dự đoán Max A=6
BĐT$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 6$
Đặt $p=x+y+z;q=xy+yz+zx;r=xyz\Rightarrow p^{2}-2q=3$
(1)$\Leftrightarrow 3q-rp\leq 6\Leftrightarrow rp+6-3q\geq 0$
Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{p(p^{2}-6)}{9}\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}\geq 3q=\dfrac{3(p^{2}-3)}{2}\Leftrightarrow (p^{2}-9)(2p^{2}-21)\geq 0$(đúng vì p 3)
Vậy Max A=6 khi x=y=z=1
p/s:mình mới chứng minh được trong trường hợp các số đều dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 26-11-2011 - 17:51

[minhson95]

Ta dự đoán Max A=6
BĐT$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 6$
Đặt $p=x+y+z;q=xy+yz+zx;r=xyz\Rightarrow p^{2}-2q=3$
(1)$\Leftrightarrow 3q-rp\leq 6\Leftrightarrow rp+6-3q\geq 0$
$r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{p(p^{2}-6)}{9}\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}{9}\geq 3q=\dfrac{3(p^{2}-3)}{2}\Leftrightarrow (p^{2}-9)(2p^{2}-21)\geq 0$(đúng vì p 3)
Vậy Max A=6 khi x=y=z=1

$ BDT<=>3(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 6$
lÀ sao hả bạn mình không hiểu bạn biến đổi !

[Ispectorgadget]

A=$xy(x^2+y^2)+xz(x^2+z^2)+yz(y^2+z^2)$
$=xy(x^2+y^2)+xyz^2+xz(x^2+z^2)+xy^2z+yz(y^2+z^2)+x^2yz-xyz(x+y+z)$

[minhson95]

Ta dự đoán Max A=6
BĐT$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 6$
Đặt $p=x+y+z;q=xy+yz+zx;r=xyz\Rightarrow p^{2}-2q=3$
(1)$\Leftrightarrow 3q-rp\leq 6\Leftrightarrow rp+6-3q\geq 0$
$r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{p(p^{2}-6)}{9}\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}{9}\geq 3q=\dfrac{3(p^{2}-3)}{2}\Leftrightarrow (p^{2}-9)(2p^{2}-21)\geq 0$(đúng vì p 3)
Vậy Max A=6 khi x=y=z=1

cả đoạn nÀy mình không hiểu
$r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{p(p^{2}-6)}{9}\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}{9}\geq 3q=\dfrac{3(p^{2}-3)}{2}\Leftrightarrow (p^{2}-9)(2p^{2}-21)\geq 0$(đúng vì p 3)
bạn chỉ rõ giúp mình với!
tại sao $r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}$ hả bạn
mình biến đổi mãi không ra

[Ispectorgadget]

Ở đây là sử dụng BĐT Schur
$9abc+(a+b+c)^3\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)$

[minhson95]

Ta dự đoán Max A=6
BĐT$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 6$
Đặt $p=x+y+z;q=xy+yz+zx;r=xyz\Rightarrow p^{2}-2q=3$
(1)$\Leftrightarrow 3q-rp\leq 6\Leftrightarrow rp+6-3q\geq 0$
Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{p(p^{2}-6)}{9}\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}{9}\geq 3q=\dfrac{3(p^{2}-3)}{2}\Leftrightarrow (p^{2}-9)(2p^{2}-21)\geq 0$(đúng vì p 3)
Vậy Max A=6 khi x=y=z=1

nhưng mÀ sao biến đổi ra được đoạn nÀy
$\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 25-11-2011 - 18:20

[minhson95]

Ta dự đoán Max A=6
BĐT$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z)\leq 6$
Đặt $p=x+y+z;q=xy+yz+zx;r=xyz\Rightarrow p^{2}-2q=3$
(1)$\Leftrightarrow 3q-rp\leq 6\Leftrightarrow rp+6-3q\geq 0$
Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$r\geq \dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{p(p^{2}-6)}{9}\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}{9}\geq 3q=\dfrac{3(p^{2}-3)}{2}\Leftrightarrow (p^{2}-9)(2p^{2}-21)\geq 0$(đúng vì p 3)
Vậy Max A=6 khi x=y=z=1

nhưng mÀ lÀm sao biến đổi ra được đoạn nÀy
$\Leftrightarrow rp+6\geq\frac{p(p^{2}-6)}{9}{9}$
hả bạn!

[alex_hoang]

Bạn chưa hiểu về phương pháp pqr có thể xem thêm về nó tại đây

File gửi kèm

•  Pqr.pdf   527.62K   84 Số lần tải

[asroma11235]

$x^2+y^2+z^2=3$
$\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)=9$
$\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \leq 3$
$A=\sum (x^3y+y^3x) \leq 2(x^4+y^4+z^4) \leq 6$
Đẳng thức xảy ra <=> $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi asroma11235: 30-11-2011 - 11:01

[minhson95]

$x^2+y^2+z^2=3$
$\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)=9$
$\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \leq 3$
$A=\sum (x^3y+y^3x) \leq 2(x^4+y^4+z^4) \leq 6$
Đẳng thức xảy ra <=> $x=y=z=1$

sao lại có cái này hả bạn
$\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \leq 3$
$A=\sum (x^3y+y^3x) \leq 2(x^4+y^4+z^4) \leq 6$
mình không hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 26-11-2011 - 12:35

[minhson95]

bạn làm sai rùi.... $ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\le\x^4+y^4+z^4 $ Nên $ x^4+y^4+z^4\ge\3 $ mới đúng chứ

thế là sao mình chẳng hiểu mọi người nói đâu!
ai làm được rồi thì post lên cho mình với!
mình học kém phần BDT lắm
ai làm được post chi tiết nhé!

[Peter Pan]

cho các số thực $x, y, z$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=3$. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$A=x^3(y+z)+y^3(z+x)+z^3(x+y)$

Sai kiến thức cơ bản ) BĐT Schur bậc 3 chỉ áp dụng cho số không âm,chứ không dành cho số thực

ta có $|A| \leq \sum(|x^3y|+|yx^3|)=\sum (|x|^3|y|+|y|^3|x|)$ từ đây có thể đưa về bài toán với các biến ko âm, có cái giải thiết là tổng các bình phương nên ko vấn đề j`. xử lí Schur như ban đầu OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 29-11-2011 - 20:05