Chủ đề này có 7 trả lời

[vietnamthuaka]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
$(x+1)^{4} - (x-1)^{4}=y^{3}$

Mod: Mong bạn lần sau đặt tiêu đề là mệnh lệnh bài toán. Và đừng đặt tiêu đề đại loại như "cứu, gấp,...". Nên post đúng box. Bài này thuộc Số học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-11-2011 - 07:38

[Crystal]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau(giúp em với các anh mod, admin hoặc tkành viên cũg đc em đag cần gấp)
$(x+1)^{4}$ - $(x-1)^{4}$=$y^{3}$ (1)

Hướng dẫn:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{x^3} + 8x = {y^3}$. Đặt $y = 2z,z \in Z \Rightarrow {x^3} + x = {z^3}$

Đặt $z = x + d,d \in Z \Rightarrow {x^3} + x = {\left( {x + d} \right)^3} \Leftrightarrow 3d{x^2} + \left( {3{d^2} - 1} \right)x + {d^3}=0$

Xem phương trình trên là phương trình bậc hai theo $x$. Để phương trình có nghiệm thì:
$${\Delta _x} = - 3{d^4} - 6{d^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le {d^2} \le \dfrac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\left( { \approx 0,15} \right) \Leftrightarrow d = 0$$
Suy ra $x = z \Rightarrow {x^3} = {x^3} + x \Rightarrow x = 0$
Vậy phương trình có nghiệm $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right)}$

[vietnamthuaka]

Nhưng mà anh ơi em mới học lớp 8 chưa học đến đenta mà bài ấy em làm đc túi hôm(sau khi đăng đó) wa rùi.Thanks anh nhìu

Có bày này nữa này anh : Tìm n để A= $3^{n}+19$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-11-2011 - 14:52

[hxthanh]

Tìm $n$ để $3^n+19$ là số chính phương

$n=0;\;\; n=1$ không phải là nghiệm suy ra $n\ge 2$
$3^n+18=m^2-1\Leftrightarrow 3^2(3^{n-2}+2)=(m-1)(m+1)$
VT lẻ suy ra m chẵn $m=2k$ suy ra $\gcd(m-1,m+1)=1$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}\begin{cases}m-1=3^2 \\ m+1 = 3^{n-2}+2\end{cases} \\ \\ \begin{cases}m+1=3^2 \\ m-1 = 3^{n-2}+2\end{cases}\end{matrix}\right. \;\;\Rightarrow n=4$

[123123talackoka]

Nhưng mà anh ơi em mới học lớp 8 chưa học đến đenta mà bài ấy em làm đc túi hôm(sau khi đăng đó) wa rùi.Thanks anh nhìu

Có bày này nữa này anh : Tìm n để A= $3^{n}+19$ là số chính phương

Cách làm: Đặt $3^{n}+19=a^{2}\Leftrightarrow (3^{\frac{n}{2}})^{2}-a^{2}=19$.$3^{n}+19=a^{2}\Leftrightarrow (3^{\frac{n}{2}})^{2}-a^{2}=19\Leftrightarrow (3^{\frac{n}{2}}-a)(3^{\frac{n}{2}}+a)=19.Mà 19=1.9=-1.-9.$.Rồi xét bài toán tổng hiệu đc ko anh
hxthanh

[hxthanh]

Cách làm: Đặt $3^{n}+19=a^{2}\Leftrightarrow (3^{\frac{n}{2}})^{2}-a^{2}=19$.$3^{n}+19=a^{2}\Leftrightarrow (3^{\frac{n}{2}})^{2}-a^{2}=19\Leftrightarrow (3^{\frac{n}{2}}-a)(3^{\frac{n}{2}}+a)=19.Mà 19=1.9=-1.-9.$.Rồi xét bài toán tổng hiệu đc ko anh
hxthanh

Hoàn toàn được nếu em chứng minh được $n$ là số chẵn (lúc đó em mới chia 2 được chứ!)

[123123talackoka]

Hoàn toàn được nếu em chứng minh được $n$ là số chẵn (lúc đó em mới chia 2 được chứ!)

Dạ dễ thui vận dụng mấy tính chất của số chính phương là đc

[123123talackoka]

Hoặc có cách này đc ko thầy @hxthanh
đặt $3^{n}$ +19=$a^{2}$
ta có: do $a^{2}$ chia cho 4 dư 0,1 và
$3^{n}$ chia cho 4 dư 1,-1; 19 chia cho 4 dư -1
nên ta lập luận đc $3^{n}$ chia cho 4 dư 1 (2)
mà 3 chia cho 4 dư -1 (1)
kết hợp (1) và (2) ta suy ra n là số chẵn hay n=2m với m là số tự nhiên
khi đó! phương trình ban đầu trở thành:
$3^{2m}$+19=$a^{2}$ <=>19=$a^{2}$ - $(3^{m})^{2}$
<=> 19 = (a-$3^{m}$)(a+$3^{m}$)