7 replies to this topic

[trandat]

CM: $a^4+b^4+c^4 \geq abc(a+b+c)$

MoD: Mong bạn đặt tiêu đề là mệnh lệnh bài toán. Tuyệt đối không đặt là "giúp mình với, cứu,...". Ngoài ra, mong bạn hãy tập gõ latex và bài viết này nên post trong box Bất đẳng thức-cực trị

Edited by perfectstrong, 26-11-2011 - 08:39.

[Ispectorgadget]

Ta có : Sử dụng bổ đề $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
Áp dụng ta có
$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+c^2a^2+a^2c^2\geq abbc+bcca+caac=abc(a+b+c)$

BĐT tổng quÁt đã được nêu ra ở đây http://diendantoanho...showtopic=63996 (BĐT 8)

Edited by Ispectorgadget, 25-11-2011 - 22:33.

[Mai Duc Khai]

Ta có : Sử dụng bổ đề $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
Áp dụng ta có
$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+c^2a^2+a^2c^2\geq abbc+bcca+caac=abc(a+b+c)$

BĐT tổng quÁt đã được nêu ra ở đây http://diendantoanho...showtopic=63996 (BĐT 8)

Ta cũng có thể chứng minh bằng cÁch khÁc:
Ta có:


${a^4} + {b^4} \ge 2{{\rm{a}}^2}{b^2}$
${c^4} + {b^4} \ge 2{c^2}{b^2}$
${a^4} + {c^4} \ge 2{{\rm{a}}^2}{c^2}$
Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên:

$\Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge 2{{\rm{a}}^2}{b^2} + 2{c^2}{b^2} + 2{{\rm{a}}^2}{c^2}$
Mặt khÁc ta lại có:


${{\rm{a}}^2}{b^2} + {c^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{{\rm{a}}^2}{b^2}.{c^2}{b^2}} = 2{\rm{a}}{b^2}c $
${{\rm{a}}^2}{b^2} + {{\rm{a}}^2}{c^2} \ge 2\sqrt {{{\rm{a}}^2}{b^2}.{c^2}{a^2}} = 2{{\rm{a}}^2}bc $
${{\rm{a}}^2}{c^2} + {c^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{{\rm{a}}^2}{c^2}.{c^2}{b^2}} = 2{\rm{a}}b{c^2}$
Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên ta được:
$2{{\rm{a}}^2}{b^2} + 2{c^2}{b^2} + 2{{\rm{a}}^2}{c^2}\ge 2{\rm{a}}{b^2}c + 2{{\rm{a}}^2}bc + 2{\rm{a}}b{c^2}$

$\Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge 2{\rm{a}}{b^2}c + 2{{\rm{a}}^2}bc + 2{\rm{a}}b{c^2} = 2{\rm{a}}bc\left( {a + b + c} \right)$

$\Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge abc\left( {a + b + c} \right)$

Edited by maikhaiok, 27-11-2011 - 21:20.

[Mai Duc Khai]

Cách tiếp nữa:
Sử dụng BĐT cô si cho một loạt BĐT sau:


${a^4} + {b^4} + {c^4} = \frac{1}{2}\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{b^4} + {c^4}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{c^4} + {a^4}} \right)$
$\frac{1}{2}\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{b^4} + {c^4}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{c^4} + {a^4}} \right) \ge {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} $
${a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} = \frac{1}{2}{b^2}\left( {{a^2} + {c^2}} \right) + \frac{1}{2}{c^2}\left( {{b^2} + {a^2}} \right) + \frac{1}{2}{a^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)$
$\frac{1}{2}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{a^2}{b^2} + {c^2}{a^2}} \right) \ge {\rm{a}}{b^2}c + {{\rm{a}}^2}bc + {\rm{a}}b{c^2} = abc\left( {a + b + c} \right) $

$\Rightarrow dpcm$

Edited by maikhaiok, 25-11-2011 - 23:47.

[trandat]

em cảm ơn rất nhiều nhưng giò em đang học lớp 8 mà em mới học có kì đầu chưa sử dụng đc Bất đẳng thức nên em mong có một cách giải thích hợp ko thì chịu

[vietnamthuaka]

Ta có : Sử dụng bổ đề $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$.Chứng minh nè:
từ $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$$\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geqslant 2ab+2bc+2ac \Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab+2bc+2ac\geqslant0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}\geqslant0.$.Đpcm

[Mai Duc Khai]

em cảm ơn rất nhiều nhưng giò em đang học lớp 8 mà em mới học có kì đầu chưa sử dụng đc Bất đẳng thức nên em mong có một cách giải thích hợp ko thì chịu

Hik! Kỳ đầu lớp 8 thì cũng học BĐT cô-si rồi mà?????

[Cao Xuân Huy]

Đây là bất đẳng thức AM-GM cho 2 số nên chứng minh lại dễ dàng bằng bất đẳng thức cơ bản của số học là $(a-b)^2 \ge 0$

Ta chứng minh: $a^2+b^2 \ge 2ab \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2 \ge 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0$

Bất đẳng thức này đúng nên ta có ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$