Chủ đề này có 1 trả lời

[nguoingudong]

Tìm $a,b,c$ sao cho
$$\overline{abc}=9(a^2+b^2+c^2)$$

Mod. Lần sau đề nghị bạn ghi nội dung bài viết cho cẩn thận.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 28-11-2011 - 12:25

[nguyenta98]

Ta có bất đẳng thức sau:
$a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ suy ra $9(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)^2$ <1>
Xét các trường hợp sau:
Do $\overline{abc}=9(a^2+b^2+c^2)$ suy ra $\overline{abc}$ chia hết cho 9 suy ra $a+b+c$ chia hết cho 9.
Lại có $a+b+c$ lớn nhất là $9+9+9=27$
Th1: $a+b+c=27$ suy ra $9(a^2+b^2+c^2)=\overline{abc}\geq 3*27^2=2187$ (theo <1>) suy ra vô lý vì $\overline{abc}<1000$
Th2: $a+b+c=18$ suy ra $9(a^2+b^2+c^2)=\overline{abc}\geq 3*18^2=972$ Suy ra $\overline{abc}\geq 972$ do đó $a=9$ và $b\geq 7$
Suy ra $9(a^2+b^2+c^2)>9*9^2+9*7^2=1170$ suy ra loại vì $\overline{abc}$ là số có 3 chữ số.
Th3: $a+b+c=9$ Cũng áp dụng bdt tương tự như <1> suy ra $\overline{abc}\geq 243$ <2> suy ra $a\geq 2$
Nếu $a=4,5,6,7,8,9$ và $b+c=5,4,3,2,1,0$
Lại có $9(a^2+b^2+c^2)\le 9(a^2+(c+b)^2)$ Suy ra $\overline{abc}\le 9(a^2+(c+b)^2)$ <3>
Do vậy tương ứng với mỗi $a=4.5.6.7.8.9$ <4> thì theo <3> $\overline{abc}\le 369,369,405,477,585,729$ $**$
Suy ra tương ứng với abc ở $**$ thì $a\le 3,3,4,5,7$ mâu thuẫn <4>
Vậy nên $a$ chỉ có thể bằng $2$ hoặc $3$
Nếu $a=2$ suy ra theo <2> suy ra $b\geq 4$ hay $b=4,5,6,7$ và c tương ứng $c=3,2,1,0$ thay vào đề bài đều thấy loại.
Suy ra $a$ chỉ có thể là $3$ Suy ra $b+c=6$ suy ra $b=0,1,2,3,4,5,6$ và c tương ứng bằng $6,5,4,3,2,1,0$
Thay vào đề bài thấy có $b=1$ và $c=5$ chọn.
Bài toán chỉ có 1 đáp số duy nhất là $\overline{abc}=315$

P/S: Bài này công nhận hay nhưng nó đã khiến mình gõ máy tính mất 1 tiếng...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 28-11-2011 - 14:44