Chủ đề này có 2 trả lời

[Poseidont]

1 Cho ba số dương a,b,c t/m ab+bc+ca=1
CMR
$\sqrt{a^{4}+a^{2}}+\sqrt{b^{4}+b^{2}}+\sqrt{c^{4}+c^{2}}\geq \dfrac{1}{2}\cdot \left [ \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2})+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right )^{2} \right ]$
2 Cho 3 số dương a,b,c t/m a+b+c=1
CMR
$(a+bc)\cdot (b+ca)\cdot (c+ab)\geq \dfrac{64}{81}\cdot (ab+bc+ca)^{2}$
3 Cho x,y,z là ba số t/m đk (x+y+z).(xy+yz+xz)=xyz
CMR
$x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=(x+y+z)^{2011}$
4 Cho 3 số nguyên x,y,z có tổng chia hết cho 6
CMR,
$M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz \vdots 6$
5 Cho các só dương x,y,z CMR
a $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \dfrac{8}{3}\cdot (x+y+z)\cdot \sqrt[3]{x^{2}\cdot y^{2}\cdot z^{2}}$
b $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}\geq \dfrac{(x+y+z)\cdot (xy+yz+xz)}{9}$
c $\sqrt[3]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}}\geq\sqrt{\dfrac{(xy+yz+xz)}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HVADN: 03-12-2011 - 20:35

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 5:
a,$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\geq 3(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}-\dfrac{1}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=\dfrac{8}{3}x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$
b,Câu b làm tương tự câu a
c,BĐT$\Leftrightarrow (\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8})^{2} \geq(\dfrac{xy+yz+zx}{3})^{3} $
Áp dụng câu b và BĐT$(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 01-12-2011 - 19:39

[vietfrog]

Bài 1:
Áp dụng BĐT Minkowsky ta có:
\[\sqrt {{a^4} + {a^2}} + \sqrt {{b^4} + {b^2}} + \sqrt {{c^4} + {c^2}} \ge \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2} + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \]
Ta chứng minh:
\[\sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {ac} + \sqrt {bc} } \right)}^2}} \ge \frac{1}{2}{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {ab} + \sqrt {ac} + \sqrt {bc} } \right)^2}\]
Cái này bình phương rồi rút gọn ra liền.