Chủ đề này có 6 trả lời

[jb7185]

Tìm GTNN của A=$\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |$
với x,y là các số thực thay đổi.
___________________________________
Mod: Yêu cầu bạn đặt tiêu đề đúng với nội dung.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 02-12-2011 - 09:44
Yêu cầu đặt tiêu đề khớp với nội dụng

[Crystal]

Tìm GTNN của A=$\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |$
với x,y là các số thực thay đổi.
___________________________________

Đây là một lời giải.

Áp dụng Minkowski ta có:

$\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |\geq \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}+\left | y-2 \right |$
Theo Cauchy-Schwarz:
$\sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}.\sqrt{1+(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}}\geq \left | 2+\dfrac{2y}{\sqrt{3}} \right |\Leftrightarrow \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}\geq \left | \sqrt{3}+y \right |$
$\Rightarrow \sqrt{2^{2}+(2y)^{2}}+\left | y-2 \right |\geq \left | \sqrt{3}+y \right |+\left | 2-y \right |\geq 2+\sqrt{3}$
Vậy Min A=2+$\sqrt{3}$ khix=0 y=$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

[Crystal]

Tìm GTNN của A=$\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |$
với x,y là các số thực thay đổi.
___________________________________

Đây là cách gần gũi với THPT hơn

Trong hệ toạ độ $Oxy$, xét $\overrightarrow u \left( {x - 1;y} \right),\,\,\overrightarrow v \left( {x + 1;y} \right)$. Do $\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\,\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u + \,\overrightarrow v } \right|$ nên ta có:
$$\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} \ge \sqrt {4 + 4{y^2}} = 2\sqrt {1 + {y^2}} $$
Do đó: $$A \ge 2\sqrt {1 + {y^2}} + \left| {y - 2} \right| = f\left( y \right)$$
Với $y \le 2 \Rightarrow f\left( y \right) = 2\sqrt {1 + {y^2}} + 2 - y$. Lập bảng biến thiên suy ra ngay $f\left( y \right) \ge f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 2 + \sqrt 3 $

Với $y > 2 \Rightarrow f\left( y \right) = 2\sqrt {1 + {y^2}} + \left| {y - 2} \right| > 2\sqrt {1 + {y^2}} > 2\sqrt 5 > 2 + \sqrt 3 $

Vậy GTNN của $A$ bằng $2 + \sqrt 3 $, đạt được khi $x = 0,y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

---------------
Hai cách trên có vẻ giống nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 02-12-2011 - 11:51

[dark templar]

2 cách trên giống nhau là hiển nhiên rồi anh ơi BĐT véc-tơ cũng là BĐT Mincowski đấy thôi.

[Ispectorgadget]

Sao em lại nghe nói về hình thức thì 2 cái giống nhau nhưng về bản chất thì 2 cái khác nhau.
Bài này đã được đề cập tới trong box BĐT thi ĐH
Góp thêm 1 cách
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz ta có
$\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}.\sqrt{(1-x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1-x)+\dfrac{1}{2}y|$
Tương tự ta có: $\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}.\sqrt{(1+x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1+x)+\dfrac{1}{2}y|$
=> $M\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1+x)+\dfrac{1}{2}y|+|\sqrt{\dfrac{3}{4}}(1-x)+\dfrac{1}{2}y|+|2-y|\geq |\sqrt{\dfrac{3}{4}}.(1+x)+\dfrac{1}{2}y+\sqrt{\dfrac{3}{4}}(1-x)+\dfrac{1}{2}y+2-y|=2+\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-12-2011 - 17:57

[Crystal]

2 cách trên giống nhau là hiển nhiên rồi anh ơi BĐT véc-tơ cũng là BĐT Mincowski đấy thôi.

Anh biết! Nhưng khác nhau ở đoạn dùng hàm số. Đúng không dark templar.

[dark templar]

Chính xác anh ạ