$A=3^{2005} + 4^{2005}$ cho $11$ và $13$
Tìm 2chữ số tận cùng
$A= 2^{2004}$
$b=(14^{14})^{14}$
Mod. Chú ý việc đặt tiêu đề.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-12-2011 - 14:03
Tìm số dư của $A=3^{2005} + 4^{2005}$ cho $11$ và $13$
Bắt đầu bởi Poseidont, 02-12-2011 - 11:48
#2
Đã gửi 02-12-2011 - 11:57
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
$A=2^{2004}$
Ta có $$2^{20} \equiv 76 \pmod{100}$$
$$ \rightarrow (2^{20})^{100}.2^4 =2^{2004} \equiv 76.2^4=76.16 \equiv 16 \pmod{100}$$
Vậy hai chữ số tận cùng của $2^{2004}$ là $\fbox{16}$.
Ta có $$2^{20} \equiv 76 \pmod{100}$$
$$ \rightarrow (2^{20})^{100}.2^4 =2^{2004} \equiv 76.2^4=76.16 \equiv 16 \pmod{100}$$
Vậy hai chữ số tận cùng của $2^{2004}$ là $\fbox{16}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-12-2011 - 11:58
- nguyenta98 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 02-12-2011 - 13:35
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Em xin giải câu b: (bài 2)
Gọi 2 số tận cùng của $(14^{14})^{14}$ là $ab$
Ta có $(14^{14})^{14}$ chia hết cho 4 suy ra $ab$ chia hết cho 4. <1>
Lại có $14^5 \equiv -1\pmod{25}$
Suy ra $14^{10} \equiv 1\pmod{25}$
Lại có $(14^{14})^{14}=14^{196}=(14^{10})^{19}*14^5*14$ và số này chia 25 dư $1*-1*14=-14$ hay nói cách khác $(14^{14})^{14}$ chia 25 dư 11
Suy ra $ab$ chia 25 dư 11. <2>
Từ <2> suy ra $ab=11,36.61,86$ Nhưng theo <1> thì $ab$ chia hết cho 4 nên đáp số $ab=36$
Đáp số 2 chữ số tận cùng là $\boxed{36}$
P/S Phụ lục:
Sau đây là cách tìm n chữ số tận cùng tổng quát
Giả sử đề cho là tìm n chữ số tận cùng
Thì ta hãy tìm số dư của số đó khi chia cho $10^n$ hay tìm số dư khi chia $5^n$ và $2^n$
Lời giải bài 1:
Trước tiên ta thấy nếu xét số dư thông thường thì cũng ra đáp số nhưng dài và không hay
Định lý fermat nhỏ: Cho a,p là 2 số nguyên với p nguyên tố và $gcd(a,p)=1$ thì $a^p \equiv a\pmod{p}$
Áp dụng
$3^{11} \equiv 3\pmod{11}$ suy ra $3^{2005} \equiv 5\pmod{11}$
Tương tự cũng có $4^{2005} \equiv 9\pmod{11}$
Suy ra $3^{2005}+4^{2005} \equiv 3\pmod {11}$
Với chia cho 13 thì tương tự và đáp số cho TH này là 0 hay chia hết cho 13
Gọi 2 số tận cùng của $(14^{14})^{14}$ là $ab$
Ta có $(14^{14})^{14}$ chia hết cho 4 suy ra $ab$ chia hết cho 4. <1>
Lại có $14^5 \equiv -1\pmod{25}$
Suy ra $14^{10} \equiv 1\pmod{25}$
Lại có $(14^{14})^{14}=14^{196}=(14^{10})^{19}*14^5*14$ và số này chia 25 dư $1*-1*14=-14$ hay nói cách khác $(14^{14})^{14}$ chia 25 dư 11
Suy ra $ab$ chia 25 dư 11. <2>
Từ <2> suy ra $ab=11,36.61,86$ Nhưng theo <1> thì $ab$ chia hết cho 4 nên đáp số $ab=36$
Đáp số 2 chữ số tận cùng là $\boxed{36}$
P/S Phụ lục:
Sau đây là cách tìm n chữ số tận cùng tổng quát
Giả sử đề cho là tìm n chữ số tận cùng
Thì ta hãy tìm số dư của số đó khi chia cho $10^n$ hay tìm số dư khi chia $5^n$ và $2^n$
Lời giải bài 1:
Trước tiên ta thấy nếu xét số dư thông thường thì cũng ra đáp số nhưng dài và không hay
Định lý fermat nhỏ: Cho a,p là 2 số nguyên với p nguyên tố và $gcd(a,p)=1$ thì $a^p \equiv a\pmod{p}$
Áp dụng
$3^{11} \equiv 3\pmod{11}$ suy ra $3^{2005} \equiv 5\pmod{11}$
Tương tự cũng có $4^{2005} \equiv 9\pmod{11}$
Suy ra $3^{2005}+4^{2005} \equiv 3\pmod {11}$
Với chia cho 13 thì tương tự và đáp số cho TH này là 0 hay chia hết cho 13
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 02-12-2011 - 13:46
#4
Đã gửi 03-12-2011 - 20:36
Dung Dang Do
-
- Thành viên
-
- 524 Bài viết
Dũng Dang Dở
.Cấu nè bạn:Tìm số dư của
$A=3^{2005} + 4^{2005}$ cho $11$ và $13$
Tìm 2chữ số tận cùng
$A= 2^{2004}$
$b=(14^{14})^{14}$
ta có $4^{5}\equiv 1(mod 11) \Rightarrow 4^{2005}\equiv 1(mod 11),$$3^{5} \equiv 1 (mod 11)\Rightarrow 3^{2005}\equiv 1(mod 11)$.$\Rightarrow 3^{2005}+4^{2005}\equiv 1 (mod 11).$.Vậy số dư là 1.Câu b) nè $3^{5}\equiv 1(mod 13 )\Leftrightarrow 3^{2005}\equiv 1(mol 13).4^{2005}\equiv 4(mod 13)$.Vậy $3^{2005}+4^{2005}$chia 13 dư 4.Lại nkầm công thức toán với hóa huhuhu.Mol=mod hahah:D
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 04-12-2011 - 06:29
- Poseidont và Dung Dang Do thích
@@@@@@@@@@@@
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
