Chủ đề này có 1 trả lời

[nguoingudong]

cho a.b.c là ba cạnh của tam giác thỏa mãn $(a+b-c)^{3}+(a+c-b)^{3}+(b+c-a)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$ cmr a=b=c
tks nhiu,,,,,

[perfectstrong]

Sử dụng bđt phụ sau: với $x+y \geq 0$ thì $x^3+y^3 \geq \dfrac{1}{4}(x+y)^3$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y \geq 0$
===========================
\[{\left( {a + b - c} \right)^3} + {\left( {a + c - b} \right)^3} \ge \frac{1}{4}.{\left( {2a} \right)^3} = 2{a^3}\]
Tương tự,
\[{\left( {c + a - b} \right)^3} + {\left( {c + b - a} \right)^3} \ge 2{c^3}\]
\[{\left( {b + c - a} \right)^3} + {\left( {b + a - c} \right)^3} \ge 2{b^3}\]
Cộng các bđt trên vế theo vế, ta thu được $VT \geq VP$
Mà do gt nên đẳng thức xảy ra.
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b - c = a + c - b \\ c + a - b = c + b - a \\ b + c - a = b + a - c \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\]