Chủ đề này có 7 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

1/Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa : $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$7(ab+bc+ca)\leq2+9abc$

2/Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau :

$A=a^2b(4-a-b)$

với : $a,b \geq 0 $ , $a+b\geq 6$.

3/Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a+b+c =1 $. Chứng minh rằng :

$6\sum ab +\sum_{cyc}a(b-c)^2\leq 2$

4/Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

$f(x)=x(2002-x^{2001})$

5/$\forall x,y,z >0$ , chứng minh bất đẳng thức sau :

$\sum_{cyc}\dfrac{2x}{x^6+y^4}\leq \sum \dfrac{1}{x^4}$

6/Cho $x,y,z\geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh rằng :

$x^2+y^2+z^2+\sqrt{12xyz}\leq 1$

7/Cho $a^2+b^2=25$,$c^2+d^2=16$ , $ac+bd\geq 20 $ . Tìm giá lớn nhất của :

$A=b+c$

8/$\forall n\geq 1$ , đặt $k_{n}=\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n}$ . Tìm :

$lim(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{ik_{i}^2})$

9/Cho $a,d\geq 0 $ , $b,c>0$ : $b+c\geq a+d$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của :

$A=\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{a}{a+b}$

Những bài trên đều không khó nhưng lời giải (theo mình) thì khá hay và đẹp , mong mọi người ủng hộ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 10-12-2011 - 10:17

[Ispectorgadget]

Bài 1: Áp dụng BĐT Schur ta có
abc$\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2c)(1-2b)(1-2a)=1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ac)-8abc$
$\Leftrightarrow 9abc+1\geq 4(ab+bc+ac)\Rightarrow VT=9abc+1+(a+b+c)^2\geq 9abc+3(ab+bc+ac)+1\geq 7(ab+bc+ac)$
Bài 7:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=400$ $\geq (ac+bd)^2\geq 400$
Dấu "=" xảy ra khi ad =bc
41= $a^2+b^2+c^2+d^2=(a^2+d^2)+(c^2+b^2)\geq b^2+c^2+2ad=(b^2+c^2+2bc)=(b+c)^2$
Do đó $\sqrt{41}\geq b+c$
Dấu "=" xảy ra khi $a=\dfrac{16}{\sqrt{41}};d=\dfrac{25}{\sqrt{41}};b=c=\dfrac{20}{\sqrt{41}}$

[minhducqhhehe]

bài 6/
Bđt đã cho tương đương với

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}\leqslant (x+y+z)^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{12xyz}\leqslant 2(xy+yz+xz)$ (1)

$(xy-yz)^{2}+(xy-xz)^{2}+(xz-yz)^{2}\geqslant 0$

$\Rightarrow 3xyz(x+y+z)\leqslant (x+y+z)^{2}$(2)

Từ (1)(2) suy ra đpcm

[Ispectorgadget]

Bài 5:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\sum \frac{2x}{x^6+y^4}\leq \sum \frac{2x}{2x^3y^2}=\frac{1}{x^2y^2}\leq \sum \frac{1}{x^4}$

[Le Quoc Tung]

Bài 4: Ta có:
x( 2002 - X²⁰⁰¹) = 2002x - x²⁰⁰²= 2002x - (x²⁰⁰²+1+1+1+....+1) +2001 < 2002x - 2002x +2001 = 2001
Dấu "=" xảy ra khi x=1.
P/s: Dấu < là bé hơn hoặc bằng nhé, mới đăng bài lần đầu nên.....

[Le Quoc Tung]

Bài 3: Bài 3 là hệ quả trực tiếp của bài 1:
Ta có như sau: a(b-c)²+ b(c-a)²+c(b-a)²=(a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc
Như vậy, bất đẳng thức được viết lại như sau:
7(ab+ bc+ca) -9abc<2
Hay 7(ab +bc + ca) <2+9abc (điều đã được chứng minh ở trên)
Ta có đpcm

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Bài 3: Bài 3 là hệ quả trực tiếp của bài 1:
Ta có như sau: a(b-c)²+ b(c-a)²+c(b-a)²=(a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc
Như vậy, bất đẳng thức được viết lại như sau:
7(ab+ bc+ca) -9abc<2
Hay 7(ab +bc + ca) <2+9abc (điều đã được chứng minh ở trên)
Ta có đpcm

Bạn nói mình mới để ý nhưng nếu không có bài kia thì bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn nhiều . Cách giải khác đơn giản hơn :
$6\sum ab+\sum_{cyc}a(b-c)^2\leq 6\sum ab+\sum (b-c)^2 (*) = 2(\sum a)^2=2$
Ta có (*) vì $a,b,c \in (0;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 11-12-2011 - 18:10

[Le Quoc Tung]

Mình nghĩ bài 2 của bạn có chút nhầm lẫn, vì a+b$\geq$6 thì ta không tìm nổi giá trị nhỏ nhất
Mình nghĩ điều kiện bài toán cần sửa lại a+b$\leq$6
Khi đó, bài toán sẽ được giải như sau:
* Giá trị lớn nhất: Giá trị này có được hiển nhiên khi 4-a-b $\geq$ 0:
Khi đó
A=4.$\frac{1}{4}$a²b(4-a-b) $\leq$ 4.$\frac{(\frac{1}{2}a.2+b+4-a-b)^{4}}{16}$=4
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=2,b=1
*Giá trị nhỏ nhất: Giá trị này đạt được khi 4-a-b <0
Khi đó
$\left | 4-a-b \right |\leqslant 2$
$a^{2}b= 4.\frac{1}{4}a^{2}b\leq 4.\frac{(a+b)^{3}}{27} \leq 32$
Nhân theo vế ta có $\left | A \right |\leqslant 64$
Do đó A$\geq -64$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=4,b=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Quoc Tung: 11-12-2011 - 19:55