Chủ đề này có 3 trả lời

[Poseidont]

Cho các số thực x,y,z$\epsilon [0,2] : x+y+z=3$
CMR
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5$
2 Cho các số thực dương a,b,c$\epsilon [-2,5]$
t/m dk $a+2b+3c\leq 2$
CMR $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66$

[Crystal]

Cho các số thực x,y,z$\epsilon [0,2] : x+y+z=3$
CMR
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5$

Giải bài 1, bài 2 bạn tham khảo.

Ta có: $$x,y,z \leqslant 2 \Rightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right) \leqslant 0$$
$$ \Leftrightarrow xyz - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) - 8 \leqslant 0$$
$$ \Leftrightarrow xyz - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 4 \leqslant 0 \Leftrightarrow xyz \leqslant 2\left( {xy + yz + zx} \right) - 4$$
$$ \Leftrightarrow xyz \leqslant {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 4 = 5 - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$$
$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 5 - xyz \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 5\,\,\,do\,\,xyz \geqslant 0$$

[perfectstrong]

Bài 2:
\[a \in \left[ { - 2;5} \right] \Rightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {a - 5} \right) \le 0 \Leftrightarrow {a^2} \le 3a + 10\]
Tương tự,
\[{b^2} \le 3b + 10;{c^2} \le 3c + 10\]
\[{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} \le 3a + 10 + 2\left( {3b + 10} \right) + 3\left( {3c + 10} \right) = 3\left( {a + 2b + 3c} \right) + 60 \le 3.2 + 60 = 66\]

[Mai Duc Khai]

Giải bài 1, bài 2 bạn tham khảo.

Ta có: $$x,y,z \leqslant 2 \Rightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right) \leqslant 0$$
$$ \Leftrightarrow xyz - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) - 8 \leqslant 0$$
$$ \Leftrightarrow xyz - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 4 \leqslant 0 \Leftrightarrow xyz \leqslant 2\left( {xy + yz + zx} \right) - 4$$
$$ \Leftrightarrow xyz \leqslant {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 4 = 5 - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$$
$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 5 - xyz \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 5\,\,\,do\,\,xyz \geqslant 0$$

Cách giải khác -Không khác lắm:
Ta có:
$\left( {2 - a} \right)\left( {2 - b} \right)\left( {2 - c} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 8 - 4a - 4b - 4c - abc \ge - 2ab - 2bc - 2ac$

$\Leftrightarrow 8 - 4\left( {a + b + c} \right) \ge - 2ab - 2bc - 2ac$

$\Leftrightarrow - 4 \ge - 2ab - 2bc - 2ac$

Mặt khác:

$- 2ab - 2bc - 2ac = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 9$

$\Rightarrow - 4 \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} - 9$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 5$