Chủ đề này có 4 trả lời

[kelangthang]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq\dfrac{3}{1+abc}$

Ai biết thì chỉ minh cách giải tổng quát n số luôn nha...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kelangthang: 17-12-2011 - 15:40

[Crystal]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq\dfrac{3}{1+abc}$

Ai biết thì chỉ minh cách giải tổng quát n số luôn nha...

Bạn xem ở toipc này. Tất cả những gì bạn cần đều có ở đó.

http://diendantoanho...opic=63996&st=0

[nguyenthuan]

ap dung bdt schwars:
vt=1/1+a³+1/1+b³+1/1+c³lon hon hoac bang9/(3+a³+b³+c³)
ad dung cosi 3so:a³+b³+c lon hon hoac bang 3abc
suy ra dpcm

[hmtri147]

Với mọi số $ a,b \geq 1 $ ta có bất đẳng thức sau:
$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\geq\dfrac{2}{1+ab}$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
Nếu $ a,b,c \geq 1 $
ta có :$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}=\dfrac{1}{1+(a^\dfrac{3}{2})^2}+\dfrac{1}{1+(b^\dfrac{3}{2})^2}\geq\dfrac{2}{1+(ab)^\dfrac{3}{2}}$
$\dfrac{1}{1+c^{3}}+\dfrac{1}{1+abc}=\dfrac{1}{1+(c^\dfrac{3}{2})^2}+\dfrac{1}{1+((abc)^\dfrac{1}{2})^2}\geq\dfrac{2}{1+c^{\dfrac{3}{2}}(abc)^\dfrac{1}{2}}$
$\dfrac{1}{1+(ab)^{\dfrac{3}{2}}}+\dfrac{1}{1+c^{\dfrac{3}{2}}(abc)^\dfrac{1}{2}}
=\dfrac{1}{1+((ab)^\dfrac{3}{4})^2}+\dfrac{1}{1+(c(ab)^{\dfrac{1}{4}})^{2}}\geq\dfrac{2}{1+(ab)^\dfrac{3}{4}(ab)^\dfrac{1}{4}c}
=\dfrac{2}{1+abc}$
$VT$+$\dfrac{1}{1+abc}\geq\dfrac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow$ $đpcm$
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

[T M]

Trước hết bạn chứng minh bất đẳng thức sau:

$\dfrac{1}{1+a^{2}}+\dfrac{1}{1+b^{2}}\geq \dfrac{2}{1+ab}$
Tương tự:
$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$
Ta có:
$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$
Mặt khác:
$\dfrac{1}{1+c^{3}}+\dfrac{1}{1+abc}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}$
Mà:
$\dfrac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\dfrac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}\geq \dfrac{4}{\sqrt{\sqrt{a^{4}b^{4}c^{4}}}}= \dfrac{4}{abc}$
=> ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 07-01-2012 - 12:31