Chủ đề này có 7 trả lời

[ngminhtuan]

$P=\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{4y} ;x+y=\dfrac{5}{4}; x,y>0$

MinP=?

Không dùng phương pháp hàm số nhá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngminhtuan: 19-12-2011 - 11:17

[Crystal]

$P=\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{4y} ;x+y=\dfrac{5}{4}; x,y>0$

MinP=?

Không dùng phương pháp hàm số nhá.

Bài này ngoài phương pháp hàm số thì có thể dùng Bất đẳng thức AM - GM:

Từ giả thiết, suy ra: $$P = \dfrac{4}{5}\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{4y}}} \right) = \dfrac{4}{5}\left( {4 + \dfrac{x}{{4y}} + \dfrac{{4y}}{x} + \dfrac{1}{4}} \right) \geqslant \dfrac{4}{5}\left( {4 + \dfrac{1}{4} + 2} \right) = 5$$
Dấu "=" xảy ra $$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{x}{{4y}} = \dfrac{{4y}}{x}\\
x + y = \dfrac{5}{4},x,y > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4y\\
x + y = \dfrac{5}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {1,\dfrac{1}{4}} \right)$$
Vậy $\min P = 5 \Leftrightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {1,\dfrac{1}{4}} \right)$

[Ispectorgadget]

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=1; y = $\dfrac{1}{4}$ ta có lời giải sau

Áp dụng BĐT AM-GM
$P = \dfrac{1}{{4y}} \dfrac{4}{x}= + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{4y}} \ge 5\sqrt[5]{{\dfrac{1}{{x^4 4y}}}} \ge \dfrac{{25}}{{x + x + x + x + 4y}} = \dfrac{{25}}{5} = 5$
Dấu "=" xảy ra khi x=1; và y = $\dfrac{1}{4}$
Cách khác sử dụng Cauchy-Schwarz
$\dfrac{5}{2} = \sqrt x .\dfrac{2}{{\sqrt x }} + \sqrt y .\dfrac{1}{{2\sqrt y }} \le \sqrt {(x + y)(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{4y}})} \Rightarrow \dfrac{{25}}{4} \le \dfrac{5}{4}(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{4y}}) \Rightarrow P \ge 5$

Bài toán này sử dụng KSHS thì hay hơn là sử dụng BĐT cổ điển
Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-12-2011 - 23:22

[Crystal]

Bài toán này sử dụng KSHS thì hay hơn là sử dụng BĐT cổ điển

Đúng thế. Bài toán trên có khá nhiều cách giải nhưng dùng hàm số vẫn gần gũi và hay hơn.

[ngminhtuan]

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=1; y = $\dfrac{1}{4}$ ta có lời giải sau

Áp dụng BĐT AM-GM
$P = \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{4y}} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{4y}} \ge 5\sqrt[5]{{\dfrac{1}{{x^4 4y}}}} \ge \dfrac{{25}}{{x + x + x + x + 4y}} = \dfrac{{25}}{5} = 5$
Dấu "=" xảy ra khi x=1; và y = $\dfrac{1}{4}$
Cách khác sử dụng Cauchy-Schwarz
$\dfrac{5}{2} = \sqrt x .\dfrac{2}{{\sqrt x }} + \sqrt y .\dfrac{1}{{2\sqrt y }} \le \sqrt {(x + y)(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{4y}})} \Rightarrow \dfrac{{25}}{4} \le \dfrac{5}{4}(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{4y}}) \Rightarrow P \ge 5$

Bài toán này sử dụng KSHS thì hay hơn là sử dụng BĐT cổ điển
Anh Xusinst gõ nhanh quá =.=

Hỏi bạn cái, chỗ kia sao có 5 cái 1/x ??? nhầm đúng không ?

[Crystal]

Hỏi bạn cái, chỗ kia sao có 5 cái 1/x ??? nhầm đúng không ?

Đúng rồi đó. Ispectorgadget bị nhầm thôi. Chỉ có 4 toán hạng $\dfrac{1}{x}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 19-12-2011 - 20:26

[ngminhtuan]

Tại sao không áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AMGM được ạ ? Tất nhiên kết quả sai nhưng tại sao lại thế ạ ?

[Crystal]

Tại sao không áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AMGM được ạ ? Tất nhiên kết quả sai nhưng tại sao lại thế ạ ?

Tại vì nếu áp dụng trực tiếp thì sẽ không có điểm rơi cho các biến. Những bài kiểu như thế này, muốn giải quyết để không mắc sai lầm thì trước hết cần phải dự đoán điểm rơi (dấu "=" xảy ra khi nào), rồi dựa vào đó để tách các số hạng thành những lượng thích hợp mà khi áp dụng BĐT AM - GM thì dấu "=" xảy ra.

Bạn có thể tham khảo tài liệu này:

File gửi kèm

•  -Chuyen-de-Chon-Diem-Roi-Trong-Baitoan-Cuctri.pdf   266.05K   51 Số lần tải