1 reply to this topic

[Zaraki]

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho $2^n | 2011^{2013^{2016}-1}-1$.

[nguyenta98]

Giải như sau:
Trước tiên ta tính xem $2013^{2016}-1=2^m.k$ (với $k$ lẻ)
Nhận xét $2016=32.63$ Nên đặt $2013^{63}=a$
Do vậy $2013^{2016}-1=a^32-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^{16}+1)$
Nhận thấy do $2013^{63}=a$ nên $a$ chia 4 dư 1 (do 2013 chia 4 dư 1)
Suy ra $(a+1);(a^2+1);(a^4+1);(a^8+1);(a^{16}+1)$ đều chia 4 dư 2 hay là chỉ chia hết cho 2 mà không chia hết thêm một lũy thừa của 2 nào nữa.
Hay $(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^{16}+1)$ chỉ chia hết cho lũy thừa của 2 là 32 mà thôi.<1>
Giờ ta chỉ cần xét $a-1$. Có $a-1=2013^{63}-1$
Dễ thấy $2013^{63} \equiv 5^{63}-1=25^{31}.5-1 \equiv 4 \pmod{8}$ như vậy $2013^{63}$ chỉ chia hết cho 4 mà không cho 8.<2>
Vậy nên từ <1>,<2> suy ra $(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^{16}+1)$ chỉ chia hết cho 128 hay:
$(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^{16}+1)=2^m.k=128k$ (với k lẻ)
Quay lại đề bài có $2011^{128k}-1$
Lại đặt $2011^k=b$ <3>
Suy ra $2011^{128k}-1=b^{128}-1=(b-1)(b+1)(b^2+1)(b^4+1)(b^8+1)(b^{16}+1)(b^{32}+1)(b^{64}+1)$
Lại có từ <3> suy ra $b$ chia 4 dư 3
Suy ra $(b-1)(;b^2+1);(b^4+1);(b^8+1);(b^{16}+1);(b^{32}+1);(b^{64}+1)$ chia 4 dư 2 hay chỉ chia hết cho 2 mà không chia hết cho bất kì số lũy thừa của 2 nào nữa.
Suy ra $(b-1)(b^2+1)(b^4+1)(b^8+1)(b^{16}+1)(b^{32}+1)(b^{64}+1)$ chỉ chia hết cho 128 <4>
Bây giờ ta chỉ cần xét $b+1$ là xong
Có $b+1=2011^k+1$. Lại thấy $k$ lẻ nên $k=2t+1$
Suy ra $2011^k+1=2011^{2t+1}+1 \equiv 3^{2t+1}+1=9^t.3+1 \equiv 4 \pmod{8}$ do vậy $2011^k$ chỉ chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 <5>
Từ <4> và <5> suy ra $2011^{128k}-1$ chỉ chia hết cho $4.128=512=2^9$
Như vậy suy ra $n$ lớn nhất là 9.
Đáp số $\boxed{n=9}$

Cách giải là thế nhưng thực ra mấu chốt của bài này chỉ xoay quanh đúng hằng đẳng thức $a^2-1=(a-1)(a+1)$ mà thôi
Mà sao toàn học lớp 7 mà kiếm nhiều bài thế nhỉ, anh học lớp 8 mà chẳng có bài nào cả?(thật đáng hổ thẹn!)

Edited by nguyenta98, 22-12-2011 - 15:07.