Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi thử VMO 2012 của Viện toán học lần 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-12-2011 - 16:59

Đề thi thử VMO 2012 của Viện toán học lần 2

Ngày 1

1. $a,b,c>0: \; abc=1$. Chứng minh rằng
$$a^3+b^3+c^3+6 \ge (a+b+c)^2$$

2. Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^n}} \right\}$

3. Cho tam giác ABC và H là chân đường cao từ A. Điểm P chạy trên đường tròn đi qua trung điểm 3 cạnh của tam giác này, P không thuộc BC. Chứng minh rằng đường nối tâm đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác PBH và PCH đi qua điểm cố định.

4. Sơn Tinh và Thủy Tinh chơi trò chơi trên một lưới ô vuông $m \times n$. Hai người luân phiên nhau, Sơn Tinh chơi trước, kẻ một đoạn thẳng nối hai điểm của lưới ô vuông sao cho bên trong của đoạn thẳng đó không chứa điểm nào của lưới cũng như (phần bên trong đoạn thẳng đó) không giao nhau với bất kì một đoạn thẳng đã được kẻ nào. Người cuối cùng không thể kẻ được là người thua cuộc. Hỏi ai là người có chiến thuật thắng?



Ngày 2

5. Cho n là một số nguyên dương $\ge 2$. Giả sử tồn tại k số nguyên dương $n_1,n_2,n_3,...,n_k$ sao cho $\sum\limits_{i = 1}^k {{2^{{n_i}}}} $ chia hết cho $2^n-1$. Chứng minh rằng $k \ge n$.

6. Dãy $(a_n)$ cho bởi $a_0=1,a_1=p,a_2=p(p-1)$

$$a_{n+3}=pa_{n+2}-pa_{n+1}+a_n$$

Giả thiết rằng

(a) $a_n>0 \; \; \forall n$

(b) $a_ma_n>a_{m+1}a_{n-1}, \; \; \forall m \ge n \ge 0$

Chứng minh rằng $|p-1|>2$

7. Ở nước nọ có một số thành phố trong đó thành phố Bên Sông là Kinh Đô. Các thành phố được kết nối với nhau bởi một số con đường hoạt động theo cả hai chiều. Một hôm, nhà vua ra lệnh chọn n thành phố để cùng với thành phố Bên Sông lập thành Kinh Đô mở rộng sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:

(a) Với hai thành phố bất kì trong Kinh Đô mở rộng, ta luôn tìm được một đường đi giữa chúng mà chỉ đi qua các thành phố của Kinh Đô mở rộng.

(b) Có đúng k thành phố bên ngoài Kinh đô mở rộng có đường đi trực tiếp đến ít nhất một thành phố của Kinh đô mở rộng.

Chứng minh rằng có không quá $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{n + k} \\
k \\
\end{array}} \right)$ phương án để mở rộng Kinh đô theo các ước muốn của nhà vua.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 25-12-2011 - 17:44


#2 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 24-12-2011 - 18:06

Bài 2: n là x hả Nguyẽn Hưng
Bài 1 Dùng BĐT schur


#3 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-12-2011 - 19:53

Bài 2 ta có: ${(2+\sqrt{3})^n}=1-(2-\sqrt{3})^n$ dễ thấy khi $n \to \infty $ thì cái này tiến đến 1.
Bài 4: Nếu $m$ và $n$ cùng chẵn thì người thứ 2 chỉ việc vẽ đối xứng với người thứ nhất qua tâm hcn. Người thứ 2 thắng.
Các trường hợp còn lại người thứ nhất chỉ cần vẽ 1 đường chéo của hcn và làm tương tự như trên vs người thứ 2. Người thứ nhất thắng. Phần này chú ý nếu là hình vuông cạnh lẻ thì chỉ cần vẽ đường chéo ô ở tâm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 24-12-2011 - 19:57


#4 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-12-2011 - 21:22

Bài 4: Nếu $m$ và $n$ cùng chẵn thì người thứ 2 chỉ việc vẽ đối xứng với người thứ nhất qua tâm hcn. Người thứ 2 thắng.
Các trường hợp còn lại người thứ nhất chỉ cần vẽ 1 đường chéo của hcn và làm tương tự như trên vs người thứ 2. Người thứ nhất thắng. Phần này chú ý nếu là hình vuông cạnh lẻ thì chỉ cần vẽ đường chéo ô ở tâm.


Xem kĩ lại đề lần nữa thì thấy đúng là được :) X_X

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 25-12-2011 - 11:30


#5 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-12-2011 - 11:32

thế anh bạn nghĩ là đường thẳng đó ko thể có đt đối xứng qua tâm chắc :| trừ khi là đoạn thẳng đó đi qua tâm thì ko vẽ đối xứng đc nhưng nếu đi qua tâm thì cái tâm nó thuộc đoạn thẳng nối 2 điểm nên ko đc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 25-12-2011 - 11:53


#6 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-12-2011 - 12:40

Bài hình điểm cố định là tâm đường tròn chứa 3 trung điểm 3 cạnh tg ABC.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh