Cho $a;b;c;d$ là $4$ số dương thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng Minh Rằng:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}$
$\sum a^{4}\geq \sum a^{3}$
Started By cvp, 24-12-2011 - 23:04
#1
Posted 24-12-2011 - 23:04
#2
Posted 24-12-2011 - 23:08
Bài này còn 1 cách sử dụng Am-GM
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$$\Rightarrow a^3\geq b^3\geq c^3$
Áp dụng BĐT Chebishev cho bộ dãy đơn điệu tăng
$a.a^3+b.b^3+c.c^3+d.d^3\geq \dfrac{(a+b+c+d)}{4}.(a^3+b^3+c^3+d^3)=a^3+b^3+c^3+d^3$
Bài viết 400
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$$\Rightarrow a^3\geq b^3\geq c^3$
Áp dụng BĐT Chebishev cho bộ dãy đơn điệu tăng
$a.a^3+b.b^3+c.c^3+d.d^3\geq \dfrac{(a+b+c+d)}{4}.(a^3+b^3+c^3+d^3)=a^3+b^3+c^3+d^3$
Bài viết 400
Edited by Ispectorgadget, 24-12-2011 - 23:10.
- cvp and perfectstrong like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Posted 24-12-2011 - 23:28
Xài Cauchy-Schwart là quen thuộc nhất.
Lời giải:
\[\left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {{a^4}} } \right) \ge {\left( {\sum {{a^3}} } \right)^2} \Rightarrow \dfrac{{\sum {{a^4}} }}{{\sum {{a^3}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^3}} }}{{\sum {{a^2}} }}\]
Tương tự, ta thu được dãy bất đẳng thức sau:
\[\dfrac{{\sum {{a^4}} }}{{\sum {{a^3}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^3}} }}{{\sum {{a^2}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^2}} }}{{\sum a }} \ge \dfrac{{\dfrac{1}{4}{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{\sum a }} = 1 \Rightarrow Q.E.D\]
Lời giải:
\[\left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {{a^4}} } \right) \ge {\left( {\sum {{a^3}} } \right)^2} \Rightarrow \dfrac{{\sum {{a^4}} }}{{\sum {{a^3}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^3}} }}{{\sum {{a^2}} }}\]
Tương tự, ta thu được dãy bất đẳng thức sau:
\[\dfrac{{\sum {{a^4}} }}{{\sum {{a^3}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^3}} }}{{\sum {{a^2}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^2}} }}{{\sum a }} \ge \dfrac{{\dfrac{1}{4}{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{\sum a }} = 1 \Rightarrow Q.E.D\]
- cvp likes this
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Posted 24-12-2011 - 23:34
ta sẽ chứng minh a2+b2+c2+d2 ≥ a+b+c+d. (1)
a2+1≥ 2a (AM-GM). Tương tự cho b, c, d. Cộng lại ta đc (1)
tiếp theo, chứng minh a3+b3+c3+d3 ≥ a2+b2+c2+d2 (2)
a3 + a3 + 1 ≥ 3a2. Tương tự suy ra (2), => a3+b3+c3+d3 ≥ 4 (*)
Quay lại bài toán, ta có
a4 +a4 +a4 + 1 ≥ 4 a3
Tương tự với b, c, d. kết hợp với (*), ta dc đpcm
a2+1≥ 2a (AM-GM). Tương tự cho b, c, d. Cộng lại ta đc (1)
tiếp theo, chứng minh a3+b3+c3+d3 ≥ a2+b2+c2+d2 (2)
a3 + a3 + 1 ≥ 3a2. Tương tự suy ra (2), => a3+b3+c3+d3 ≥ 4 (*)
Quay lại bài toán, ta có
a4 +a4 +a4 + 1 ≥ 4 a3
Tương tự với b, c, d. kết hợp với (*), ta dc đpcm
Edited by catbuilts, 25-12-2011 - 00:05.
- cvp and nguyenta98 like this
Anh mong tìm thấy một khoảng rõ ràng
Hy vọng có nghiệm tình em trong đó
Đôi mắt em là phương trình bỏ ngỏ
Rèm mi cong nghiêng một góc Alpha
Anh nhìn em tưởng giới hạn đã nhoà !
Nhưng than ôi ! Toạ độ tình vụt tắt
Anh thẫn thờ về trong hiu hắt
Nhận ra mình chỉ phận nghiệm ngoại lai
Thế mà anh cứ ngỡ mình Y max
Nước mắt rơi hay đồ thị tuôn dài ?
Anh mãi chôn hồn mình trong đơn điệu
Trong không gian ảo vọng khối đa chiều
Giới hạn ấy làm sao nhoà em nhỉ ?
Suốt đời mình chỉ tiệm cận mà thôi...
Hy vọng có nghiệm tình em trong đó
Đôi mắt em là phương trình bỏ ngỏ
Rèm mi cong nghiêng một góc Alpha
Anh nhìn em tưởng giới hạn đã nhoà !
Nhưng than ôi ! Toạ độ tình vụt tắt
Anh thẫn thờ về trong hiu hắt
Nhận ra mình chỉ phận nghiệm ngoại lai
Thế mà anh cứ ngỡ mình Y max
Nước mắt rơi hay đồ thị tuôn dài ?
Anh mãi chôn hồn mình trong đơn điệu
Trong không gian ảo vọng khối đa chiều
Giới hạn ấy làm sao nhoà em nhỉ ?
Suốt đời mình chỉ tiệm cận mà thôi...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users