$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$
Edited by phamvanha92, 26-12-2011 - 22:45.
Giải phương trình nghiệm nguyên ko âm: $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$
Started By phamvanha92, 26-12-2011 - 22:41
#1
Posted 26-12-2011 - 22:41
phamvanha92
-
- Thành viên
-
- 164 posts
Trung sĩ
Giải phương trình nghiệm nguyên ko âm:
$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$
$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$
#2
Posted 27-12-2011 - 21:51
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 posts
Thượng úy
Giải như sau:
Do $x^2$ nguyên nên $\sqrt{y+1}$ cũng nguyên suy ra $y+1$ là số chính phương.
Đặt $y+1=k^2$ vì $x,y$ nguyên không âm suy ra $k\geq 1$
Nếu $k=1$ suy ra $(x,y)=(1,0)$
Nếu $k>1$
Như vậy $VP=(k^2-1)^2+k=k^4-2k^2+1+k=k^4-(2k^2-k-1)$
Dễ thấy $(k^2-1)^2<VP=(k^2-1)^2+k=k^4-2k^2+1+k$ <1>
Lại thấy $2k^2-k-1>0$ do $k>1$ suy ra $VP=k^4-(2k^2-k-1)<k^4$ <2>
Từ <1>,<2> suy ra $(k^2-1)^2<VP=x^2<(k^2)^2 \leftrightarrow k^2-1<x<k^2$ suy ra $x$ không thể là số nguyên do nó bị kẹp giữa 2 số nguyên dương liên tiếp loại.
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,0)}$
Do $x^2$ nguyên nên $\sqrt{y+1}$ cũng nguyên suy ra $y+1$ là số chính phương.
Đặt $y+1=k^2$ vì $x,y$ nguyên không âm suy ra $k\geq 1$
Nếu $k=1$ suy ra $(x,y)=(1,0)$
Nếu $k>1$
Như vậy $VP=(k^2-1)^2+k=k^4-2k^2+1+k=k^4-(2k^2-k-1)$
Dễ thấy $(k^2-1)^2<VP=(k^2-1)^2+k=k^4-2k^2+1+k$ <1>
Lại thấy $2k^2-k-1>0$ do $k>1$ suy ra $VP=k^4-(2k^2-k-1)<k^4$ <2>
Từ <1>,<2> suy ra $(k^2-1)^2<VP=x^2<(k^2)^2 \leftrightarrow k^2-1<x<k^2$ suy ra $x$ không thể là số nguyên do nó bị kẹp giữa 2 số nguyên dương liên tiếp loại.
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,0)}$
Edited by nguyenta98, 27-12-2011 - 21:51.
- perfectstrong, Zaraki and phamvanha92 like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
