Chủ đề này có 1 trả lời

[Math Is Love]

Bài 1: Chứng minh rằng nếu (m-1)! +1 $\vdots$ m(m $\neq$ 4) thì m là số nguyên tố và đảo lại.
Bài 2: Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng mọi ước số nguyên tố lẻ của $a^{2}$ + $b^{2}$ chỉ có dạng 4m+1( mà không có dạng 4m+3 trong đó m là số nguyên dương).

[nguyenta98]

Bài 1: Chứng minh rằng nếu (m-1)! +1 $\vdots$ m(m $\neq$ 4) thì m là số nguyên tố và đảo lại.
Bài 2: Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng mọi ước số nguyên tố lẻ của $a^{2}$ + $b^{2}$ chỉ có dạng 4m+1( mà không có dạng 4m+3 trong đó m là số nguyên dương).

Giải như sau:
Bài 1:
$=>$ chiều thuận nếu $(m-1)!+1$ chia hết cho $m$
Giả sử $m$ hợp số suy ra giả sử $m$ chia hết cho số nguyên tố $p$ suy ra $p<m$ suy ra $(m-1)!$ chia hết cho p
Vì $(m-1)!+1$ chia hết cho m suy ra chia hết cho p suy ra 1 chia hết cho p vô lý
Vậy $m$ nguyên tố
$<=$ chiều đảo: đây chính là định lý Wilson, bạn có thể xem chứng minh ở http://vi.wikipedia...._l%C3%BD_Wilson mình không muốn viết lại nữa.

Bài 2:
Bổ đề: Nếu $p$ là số nguyên tố và $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ thì cả $a,b$ đều chia hết cho $p$ với $p \equiv 3 \pmod{4}$
CM:
Giả thiết phản chứng $a,b$ không chia hết cho $p$ suy ra $gcd(a,p)=1$ và tương tự với b
Đặt $p=4k+3$
Xét số $a^{4k+2}+b^{4k+2}$ ta có:
$a^{4k+2}+b^{4k+2}=(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1}=(a^2+b^2)*(…)$ <1>
Lại theo đề bài $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ suy ra từ <1> ta có $a^{4k+2}+b^{4k+2}$ chia hết cho $p$ <2>
Lại theo định lý fermat nhỏ: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ và tương tự với $b$
Suy ra $a^{p-1}- b^{p-1}=a^{4k+2}- b^{4k+2}$ chia hết cho p <3>
Từ <2> và <3> suy ra $2b^{4k+2}$ chia hết cho $p$ suy ra $b$ chia hết cho p suy ra $a$ cũng chia hết cho p suy ra giả thiết phản chứng là sai suy ra bổ đề được chứng minh.

Áp dụng: Nếu các ước $a^2+b^2$ chia 4 dư 3 thì giả sử là $k$ suy ra $k$ chia hết cho ít nhất một số nguyên tố chia 4 dư 3
Suy ra $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ và $p$ chia 4 dư 3 nên áp dụng bổ đề suy ra $a,b$ chia hết cho p vô lý vì đề cho a,b nguyên tố cùng nhaui.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-12-2011 - 22:03