Chủ đề này có 1 trả lời

[tranlam123]

Tìm điểm cực đại, cực tiểu và yên ngựa của hàm:

\[
f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1
\]

\[
\begin{gathered}
f_x = 4x^3 - 4y \\
f_y = 4y^3 - 4x \\
f_{xx} = 12x^2 \\
f_{yy} = 12y^2 \\
f_{xy} = - 4 \\
\end{gathered}
\]

fx =0, fy = 0 => 3 điểm dừng: (0, 0), (1, 1), (-1, -1)
Nếu theo công thức
\[
D = f_{xx} (a,b)f_{yy} (a,b) - [f_{xy} (a,b)]^2
\]

Thì tại 2 điểm (1, 1) và (-1, -1), đều có D > 0 và fxx > 0,fyy > 0 (cả 2 diểm D đều = 128, fxx và fyy đều = 12)

Vậy làm sao kết luận đâu là điểm cực đại đây mọi người?
Em xin cảm ơn.

[fghost]

Theo công thức, cả hai đều là cực tiểu. Một điểm cần chú ý là phương pháp trên chỉ cho phép tìm cực trị địa phương, vì vậy không có gì mâu thuẫn khi có nhiều điểm cực tiểu hay cực đại cả.

Thông thường, bài toán yêu cầu tìm cực trị và yên ngựa của hàm số 2 biến chỉ yêu cầu bạn tìm cực trị địa phương và yên ngựa. Rất nhiều trường hợp tìm cực trị tuyệt đối là không khả thi, hay quá khó

Còn nếu bạn muốn tìm absolute extrema cho toàn miền (cực trị tuyệt đối trên toàn miền RxR), thì bạn có thể tinh ý nhận thấy hay dùng graphing tool để đánh giá hàm số
1/ Nếu x rất lớn dương và y rất nhỏ âm, thì hàm số sẽ đi về vô cùng dương. Hàm số ko có cực đại.
2/ Cực tiểu địa phương xảy ra ở (1,1) hay (-1,-1) và đều cho giá trị -1. Như vậy bạn có thể chứng minh $f(x,y) \geq -1 $ $\forall (x,y)$.
$x^4+y^4-4xy+1 = x^4-2x^2y^2+y^4+2(x^2y^2-2xy+1)-1 = (x^2-y^2)^2+2(xy-1)^2-1 \geq -1$
Dấu bằng xảy ra tại (1,1) hay (-1,-1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 03-01-2012 - 09:02