Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Hồi lớp 9, mình gặp một bài toán BĐT mà các sách tham khảo giải rất dài, mà lời giải của nó có thể cũng chỉ mấy dòng, mình đưa lên để các bạn suy nghĩ. :
với x, y, z không âm, chứng minh $$8( x^3 + y^3 + z ^3)^2 \ge 9(x^2 +yz)(y^2 +zx)(z^2 +xy)$$

[Nguyễn Hưng]

Biến đổi tương đương

\[\begin{array}{l}
8{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)^2} \ge 9\left( {{x^2} + yz} \right)\left( {{y^2} + zx} \right)\left( {{z^2} + xy} \right) \\
\Leftrightarrow 8\left( {{x^6} + {y^6} + {z^6}} \right) + 7\left( {{x^3}{y^3} + {y^3}{z^3} + {z^3}{x^3}} \right) \ge 9\left( {{x^4}yz + x{y^4}z + xy{z^4}} \right) + 18{x^2}{y^2}{z^2} \\
\end{array}\]
Đến đây thì AM-GM là ra. Ta có

\[\begin{array}{l}
6\left( {{x^3}{y^3} + {y^3}{z^3} + {z^3}{x^3}} \right) \ge 18{x^2}{y^2}{z^2} \\
6{x^6} + {y^6} + {z^6} + {y^3}{z^3} \ge 9\sqrt[9]{{{x^{36}}{y^9}{z^9}}} = 9{x^4}yz \\
6{y^6} + {z^6} + {x^6} + {z^3}{x^3} \ge 9\sqrt[9]{{{x^9}{y^{36}}{z^9}}} = 9x{y^4}z \\
6{z^6} + {x^6} + {y^6} + {x^3}{y^3} \ge 9\sqrt[9]{{{x^9}{y^9}{z^{36}}}} = 9xy{z^4} \\
\end{array}\]
Cộng tất cả lại, thu được đpcm. $\blacksquare$

[phuc_90]

Cách thứ 2 ( không cần phải khai triển )
Ta có $27\left(x^2+yz\right)\left(y^2+zx\right)\left(z^2+xy\right) \leq \left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)^3$
Khi đó ta chỉ cần chứng minh $24\left(x^3+y^3+z^3\right)^2 \geq \left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)^3$
mà $xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2$
do đó ta chỉ cần chứng minh $24\left(x^3+y^3+z^3\right)^2 \geq 8\left(x^2+y^2+z^2\right)^3 $ Bđt này đúng hiền nhiên đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 05-01-2012 - 19:51