cho x,y dương thay đổi thỏa mãn x+y=2 crm $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$
Cho $x,y$ dương thay đổi thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng $$x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$$
Bắt đầu bởi taubietrui, 05-01-2012 - 10:42
#2
Đã gửi 05-01-2012 - 11:04
Nguyễn Hưng
-
- Thành viên
-
- 140 Bài viết
Trung sĩ
Ta có
\[{x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = {x^3}{y^3}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = 2{x^3}{y^3}\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)\]
Mặt khác
\[{x^3}{y^3}\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) \le {\left( {\dfrac{{xy + xy + xy + {x^2} + {y^2} - xy}}{4}} \right)^4} = {\left( {\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}} \right)^4} = 1\]
Nên hiển nhiên có điều phải chứng minh. $\blacksquare$
\[{x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = {x^3}{y^3}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = 2{x^3}{y^3}\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)\]
Mặt khác
\[{x^3}{y^3}\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) \le {\left( {\dfrac{{xy + xy + xy + {x^2} + {y^2} - xy}}{4}} \right)^4} = {\left( {\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}} \right)^4} = 1\]
Nên hiển nhiên có điều phải chứng minh. $\blacksquare$
- Ispectorgadget, nhoka2 và Zaraki thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
