3 replies to this topic

[Zaraki]

Cho $a,b,c \in [1, 2]$ là các số thực. Chứng minh rằng
\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Edited by Phạm Quang Toàn, 06-01-2012 - 12:31.

[Hoang Long Le]

Cho $a,b,c \in [1, 2]$ là các số thực. Chứng minh rằng
\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?

 Không mất tính tổng quát, giả sử $a=\min \{ a,b,c \}$

 Khi đó, đặt $b=a+x$ và $c=a+y$ thì $x,y\geq 0$ , khai triển bậc 3 khá dễ, ta có :

     $\textrm{BĐT}\Leftrightarrow 7a(x^2-xy+y^2)+9x^3-37x^2y+17x^2y+9y^3=f(a)\geq 0$

 Vì $x^2-xy+y^2\geq 0$ và $a\geq 1$ nên $f(a)\geq f(1)$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh :

     $9x^3+(7-37y)x^2+(17y^2-7y)x+9y^3+7y^2=g(x)\geq 0$

 Có $g'(x)=27x^2+x(14-74y)+y(-7+17y)$

     Xét $\Delta _{g'(x)}=28(130y^2-47y+7)>0$ nên $g'(x)>0$

 $\Rightarrow$ $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $g(x)\geq g(0)=9y^3+7y^2\geq 0$

 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

 Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hay $a=b=c$

Edited by Hoang Long Le, 29-10-2015 - 21:43.

[dogsteven]

Bài này còn có cách giải khác bằng S-O-S kèm theo chia để trị, $a,b,c\in [1,2]$ ta có thể coi $a,b,c$ như là ba cạnh của một tam giác. Từ đó đánh giá dễ hơn.

[TMW]

Bài này còn có cách giải khác bằng S-O-S kèm theo chia để trị, $a,b,c\in [1,2]$ ta có thể coi $a,b,c$ như là ba cạnh của một tam giác. Từ đó đánh giá dễ hơn.

hông hiểu