Cho $ x,y,z $ là 3 số thực dương thỏa mãn: $ xyz=1 $
Chứng minh bất đẳng thức:
\[\dfrac{{{x^4}y}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{{{y^4}z}}{{{y^2} + 1}} + \dfrac{{{z^4}x}}{{{z^2} + 1}} \ge \dfrac{3}{2}\]
Chứng minh: $\sum {\dfrac{{{x^4}y}}{{{x^2} + 1}}}$ với $xyz=1$
Bắt đầu bởi vietfrog, 07-01-2012 - 17:46
#1
Đã gửi 07-01-2012 - 17:46
vietfrog
-
- Hiệp sỹ
-
- 947 Bài viết
Trung úy
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#2
Đã gửi 07-01-2012 - 20:20
phuc_90
-
- Thành viên
-
- 438 Bài viết
Sĩ quan
Dễ thấy $x^2y+x^2y+z^2x \geq 3x$
$y^2z+y^2z+x^2y \geq 3y$
$z^2x+z^2x+y^2z \geq 3z$
Cộng vế theo vế ta có $x^2y+y^2z+z^2x \geq x+y+z$
Theo BĐT AM-GM ta có $\dfrac{x^4y}{x^2+1} = x^2y\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right) \geq x^2y-\dfrac{1}{2}xy$
suy ra $\sum\dfrac{x^4y}{x^2+1} \geq \sum x^2y-\dfrac{1}{2}\sum xy \geq \dfrac{1}{2}\sum \left(x^2y+y\right)-\dfrac{1}{2}\sum xy \geq \dfrac{\sum xy}{2} \geq \dfrac{3}{2}$
$y^2z+y^2z+x^2y \geq 3y$
$z^2x+z^2x+y^2z \geq 3z$
Cộng vế theo vế ta có $x^2y+y^2z+z^2x \geq x+y+z$
Theo BĐT AM-GM ta có $\dfrac{x^4y}{x^2+1} = x^2y\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right) \geq x^2y-\dfrac{1}{2}xy$
suy ra $\sum\dfrac{x^4y}{x^2+1} \geq \sum x^2y-\dfrac{1}{2}\sum xy \geq \dfrac{1}{2}\sum \left(x^2y+y\right)-\dfrac{1}{2}\sum xy \geq \dfrac{\sum xy}{2} \geq \dfrac{3}{2}$
- dark templar, vietfrog và Tham Lang thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
