Chủ đề này có 3 trả lời

[hoang45]

1. Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh:
$a^{k}+b^{k}\leq a^{k+1}+b^{k+1}$
2. Chứng minh : $(2n)!<2^{2n}.(n!)^{2}$

[Tham Lang]

Bài 1. Sử dụng chebyshev, giả sử $a \ge b => a^k \ge b^k $ ta có $(a^{k + 1} + b^{k + 1}).2 \ge (a^k + b^k)(a + b) \ge 2.(a^k + b^k) => a^{k + 1} + b^{k + 1} \ge a^k + b^k$
bài 2. Sử dụng quy nạp. bđt đúng với n = 1. giả sử, đúng với $n = k => (2k)! < 2^{2k} . (k!)^2 => (2k)!.(2k + 1)(2k + 2) < 2^{2k} . (k!)^2 .(2k + 1)(2k + 2)$ Ta cần chứng minh $2^{2k} . (k!)^2 . (2k + 1)(2k + 2) < 2^{2k + 2} . ((k + 1)!)^2 <=>4k^2 + 6k + 2 <4.(k + 1)^2 <=>4k^2 + 6k + 2 < 4k^2 + 8k + 4$ điều này đúng.suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 14-01-2012 - 22:07

[phuc_90]

2. Chứng minh : $(2n)!<2^{2n}.(n!)^{2}$

Khai triển $(2n)!$ ra

$(2n)! = 2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)...4.3.2.1$

và để ý thấy $2n-1<2n$ , $2n-3<2n-2$ , ... ,$3<4$ , $1<2$

suy ra $(2n)! < (2n)^2 (2n-2)^2 ... 4^2 2^2 = 2^{2n}(n!)^2$

[hoang45]

Bài 1. Sử dụng chebyshev, giả sử $a \ge b => a^k \ge b^k $ ta có $(a^{k + 1} + b^{k + 1}).2 \ge (a^k + b^k)(a + b) \ge 2.(a^k + b^k) => a^{k + 1} + b^{k + 1} \ge a^k + b^k$

Bài 1 có thể dùng quy nạp k?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang45: 16-01-2012 - 13:40