Chủ đề này có 6 trả lời

[T M]

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+ \frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài này mình hơi thắc mắc là sau khi chọn điểm rời tại$a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ Mình biến đổi nhưng lại ra Min=9/2????????

[dark templar]

Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+ \frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài này mình hơi thắc mắc là sau khi chọn điểm rời tại$a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ Mình biến đổi nhưng lại ra Min=9/2????????

Bạn thử trình bày cách bạn biến đổi xem ?

[T M]

Mình nhầm trên tử là 1 Nhưng trên từ là a,b,c thì mình biến đổi ko ra:(

[dark templar]

Mình nhầm trên tử là 1 Nhưng trên từ là a,b,c thì mình biến đổi ko ra:(

Bài này không khó lắm đâu Biến đổi tương đương:
$$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1-a^2} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Theo BĐT AM-GM,ta có:
$$\frac{a}{1-a^2}=\frac{a}{\sqrt{(1-a^2)^2}}=\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{2a^2(1-a^2)^2}} \overset{AM-GM}{\ge} \frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3} \right)^3}}=\frac{\sqrt{2}a^2}{\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$$
Xây dựng các BĐT tương tự với 2 biến còn lại rồi cộng vế theo vế,ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-01-2012 - 10:32

[T M]

Chỗ đánh giá AM-GM là sao nhỉ :S Bạn giải thíc rõ hơn được ko?

[dark templar]

Chỗ đánh giá AM-GM là sao nhỉ :S Bạn giải thíc rõ hơn được ko?

BĐT AM-GM là BĐT Cauchy mà bạn hay xài đó ) Chỗ đó là sử dụng BĐT AM-GM với 3 số $2a^2;1-a^2;1-a^2$.

[wjzhweo]

Bài tết của mình cũng có bài này, bạn có thể tham khảo cách làm sau