Một vài bài bất đẳng thức nè
1.Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{xyz}{(1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6)} \le \dfrac{1}{7^4}$$
Chém bài nhẹ tay
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: $$1 + 3x = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \geqslant 7\sqrt[7]{{\frac{{{x^6}}}{{{2^6}}}}}$$
$$x + 8y = x + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} \geqslant 7\sqrt[7]{{x{y^6}\frac{{{4^6}}}{{{3^6}}}}}$$
$$y + 9z = y + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} \geqslant 7\sqrt[7]{{y{z^6}\frac{{{3^6}}}{{{2^6}}}}}$$
$$z + 6 = z + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \geqslant 7\sqrt[7]{z}$$
Nhân các BĐT trên ta được: $$VT \geqslant {7^4}\sqrt[7]{{\frac{{{x^6}}}{{{2^6}}}.x{y^6}\frac{{{4^6}}}{{{3^6}}}.y{z^6}\frac{{{3^6}}}{{{2^6}}}.z}} = {7^4}xyz$$
Suy ra: $$\frac{{xyz}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {x + 8y} \right)\left( {y + 9z} \right)\left( {z + 6} \right)}} \leqslant \frac{1}{{{7^4}}}$$