Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Một vài bài bất đẳng thức nè
1.Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{xyz}{(1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6)} \le \dfrac{1}{7^4}$$
2.Chứng minh rằng :
$$\sqrt{4x - x^3} + \sqrt{x + x^3} \le 3\sqrt[4]{3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 09-01-2012 - 00:47

[Crystal]

Một vài bài bất đẳng thức nè
1.Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{xyz}{(1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6)} \le \dfrac{1}{7^4}$$

Chém bài nhẹ tay

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: $$1 + 3x = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \geqslant 7\sqrt[7]{{\frac{{{x^6}}}{{{2^6}}}}}$$
$$x + 8y = x + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} + \frac{{4y}}{3} \geqslant 7\sqrt[7]{{x{y^6}\frac{{{4^6}}}{{{3^6}}}}}$$
$$y + 9z = y + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} + \frac{{3z}}{2} \geqslant 7\sqrt[7]{{y{z^6}\frac{{{3^6}}}{{{2^6}}}}}$$
$$z + 6 = z + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \geqslant 7\sqrt[7]{z}$$
Nhân các BĐT trên ta được: $$VT \geqslant {7^4}\sqrt[7]{{\frac{{{x^6}}}{{{2^6}}}.x{y^6}\frac{{{4^6}}}{{{3^6}}}.y{z^6}\frac{{{3^6}}}{{{2^6}}}.z}} = {7^4}xyz$$
Suy ra: $$\frac{{xyz}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {x + 8y} \right)\left( {y + 9z} \right)\left( {z + 6} \right)}} \leqslant \frac{1}{{{7^4}}}$$

[phuc_90]

Một vài bài bất đẳng thức nè
$$\sqrt{4x - x^3} + \sqrt{x + x^3} \le 3\sqrt[4]{3}$$

Chém luôn bài 2

Điều kiện $ 0 \leq x \leq 2$

Đặt $f(x) = \sqrt{4x - x^3} + \sqrt{x + x^3}$

Ta có $f'(x) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4-3x^2}{\sqrt{4x-x^3}} + \dfrac{1+3x^2}{\sqrt{x+x^3}}\right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{(4-3x^2)\sqrt{1+x^2}+(1+3x^2)\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{x(4-x^2)(1+x^2)}}$

Khi $f'(x) = 0$ ta tìm được $x=\sqrt{3}$

Nhận xét $x > \sqrt{3}$ thì $f'(x) < 0$ , $x < \sqrt{3}$ thì $f'(x) > 0$ và $x=\sqrt{3}$ thì $f(x) = 3\sqrt[4]{3}$

Từ đó suy ra $f(x) \leq 3\sqrt[4]{3}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 14-01-2012 - 20:28