Anh có cách này, hơi nặng.Cho các bạn 1 câu dễ nè:
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. $a+b+c=6$
Chứng minh rằng:
$3(a^2+b^2+c^2)+2abc\geq 52$
Lời giải:
Đặt\[\begin{array}{l}
g\left( a \right) = VT - VP = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{\left( {6 - a - b} \right)^2} + 2ab\left( {6 - a - b} \right) - 52 \\
= \left( {6 - 2b} \right){a^2} - 2\left( {{b^2} - 9b + 18} \right)a + 6{b^2} - 36b + 56 \\
\end{array}\]
Ta cần cm $g(a)>0,\forall a \in \left( {0;6} \right)$
TH1: $b = 3 \Rightarrow g\left( a \right) = 2 > 0$
TH2: $b \neq 3$
\[{\Delta _a}' = {b^4} - 6{b^3} + 9b + 4b - 12 = {\left( {b - 2} \right)^2}\left( {b + 1} \right)\left( {b - 3} \right)\]
TH2.1: $b<3 \Rightarrow 6-2b>0; \Delta_a'<0 \Rightarrow g(a)>0,\forall a$, do đồ thị của g(a) là Parabol có bề lõm hướng lên trên.
TH2.2: $b>3 \Rightarrow 6-2b<0; \Delta_a'>0 \Rightarrow $ đồ thị của g(a) là Parabol có bề lõm hướng xuống dưới và có phần đồ thị nằm trên trục Ox.
$a+b<6 \Rightarrow a<6-b<3 \Rightarrow a \in \left( {0;3} \right)$
\[\begin{array}{l} g\left( 0 \right) = 6{b^2} - 36b + 56 = 6\left( {{b^2} - 6b + 9} \right) + 2 = 6{\left( {b - 3} \right)^2} + 2 > 0 \\ g\left( 3 \right) = 9\left( {6 - 2b} \right) - 2.\left( {{b^2} - 9b + 18} \right).3 + 6{b^2} - 36b + 56 = 2 > 0 \\ \Rightarrow g\left( a \right) > 0,\forall a \in \left( {0;3} \right) \\ \end{array}\]
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-01-2012 - 22:55