Cho $(x+\sqrt{x^2+5})(y+\sqrt{y^2+5})=5$. Tính $A=x+y$
#2
Đã gửi 13-01-2012 - 16:09
duchanh1911
-
- Thành viên
-
- 77 Bài viết
Hạ sĩ
đặt $\left\{\begin{matrix}
u=x+\sqrt{x^{2}+5} & \\ v=y+\sqrt{y^{2}+5}
&
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x-\sqrt{x^{2}+5}=\frac{-5}{u} & \\ y-\sqrt{y^{2}+5}=\frac{-5}{v}
&
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+\sqrt{x^{2}+5})+(x-\sqrt{x^{2}+5})=2x=u-\frac{5}{u}$
$(y+\sqrt{y^{2}+5})+(y-\sqrt{y^{2}+5})=2y=v-\frac{5}{v}$
$\Rightarrow A=x+y=\frac{1}{2}(u+v-\frac{5}{u}-\frac{5}{v})=\frac{1}{2}(u+v-5.\frac{u+v}{uv})=\frac{1}{2}(u+v-5.\frac{u+v}{5})=0$
$\Rightarrow A=0$
u=x+\sqrt{x^{2}+5} & \\ v=y+\sqrt{y^{2}+5}
&
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x-\sqrt{x^{2}+5}=\frac{-5}{u} & \\ y-\sqrt{y^{2}+5}=\frac{-5}{v}
&
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+\sqrt{x^{2}+5})+(x-\sqrt{x^{2}+5})=2x=u-\frac{5}{u}$
$(y+\sqrt{y^{2}+5})+(y-\sqrt{y^{2}+5})=2y=v-\frac{5}{v}$
$\Rightarrow A=x+y=\frac{1}{2}(u+v-\frac{5}{u}-\frac{5}{v})=\frac{1}{2}(u+v-5.\frac{u+v}{uv})=\frac{1}{2}(u+v-5.\frac{u+v}{5})=0$
$\Rightarrow A=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duchanh1911: 13-01-2012 - 16:12
- cvp, Cao Xuân Huy và nghiakvnvsdt thích
Đừng bao giờ hài lòng với thực tại.Đấu tranh không ngừng Phát triển mãi mãi.
#3
Đã gửi 13-01-2012 - 20:45
Cao Xuân Huy
-
- Hiệp sỹ
-
- 592 Bài viết
Thiếu úy
Mày mò mãi mình kiếm được 1 cách giải khác.
Từ đề bài ta có:
\[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 5} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 5} } \right) = 5 \Leftrightarrow xy + \sqrt {({x^2} + 5)({y^2} + 5)} + x\sqrt {{y^2} + 5} + y\sqrt {{x^2} + 5} \]
Đặt $a = xy + \sqrt {({x^2} + 5)({y^2} + 5)} ;b = x\sqrt {{y^2} + 5} + y\sqrt {{x^2} + 5} $ thì theo pt trên ta có: $a + b = 5$
Mà ta có: ${a^2} - {b^2} = 25 \Leftrightarrow (a - b)(a + b) = 25 \Leftrightarrow a - b = 5$
Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\a - b = 5\end{array} \right. \Rightarrow b = 0 \Leftrightarrow x\sqrt {{y^2} + 5} = -y\sqrt {{x^2} + 5} $
+ Nếu 1 trong 2 số là $0$ thì số còn lại cũng là $0 \Rightarrow A=x+y=0$
+ Nếu 2 số cùng dương hoặc cùng âm thì pt vô nghiệm.
+ Nếu 2 số trái dấu thì 2 vế của pt trên cùng dấu nên ta bình phương thu được:
${x^2}({y^2} + 5) = {y^2}({x^2} + 5) \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow x = - y$ (vì $x,y$ trái dấu)
Do đó $A=x+y=0$
Từ đề bài ta có:
\[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 5} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 5} } \right) = 5 \Leftrightarrow xy + \sqrt {({x^2} + 5)({y^2} + 5)} + x\sqrt {{y^2} + 5} + y\sqrt {{x^2} + 5} \]
Đặt $a = xy + \sqrt {({x^2} + 5)({y^2} + 5)} ;b = x\sqrt {{y^2} + 5} + y\sqrt {{x^2} + 5} $ thì theo pt trên ta có: $a + b = 5$
Mà ta có: ${a^2} - {b^2} = 25 \Leftrightarrow (a - b)(a + b) = 25 \Leftrightarrow a - b = 5$
Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\a - b = 5\end{array} \right. \Rightarrow b = 0 \Leftrightarrow x\sqrt {{y^2} + 5} = -y\sqrt {{x^2} + 5} $
+ Nếu 1 trong 2 số là $0$ thì số còn lại cũng là $0 \Rightarrow A=x+y=0$
+ Nếu 2 số cùng dương hoặc cùng âm thì pt vô nghiệm.
+ Nếu 2 số trái dấu thì 2 vế của pt trên cùng dấu nên ta bình phương thu được:
${x^2}({y^2} + 5) = {y^2}({x^2} + 5) \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow x = - y$ (vì $x,y$ trái dấu)
Do đó $A=x+y=0$
- cvp và duchanh1911 thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#4
Đã gửi 13-01-2012 - 22:42
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5019 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải 3:
\[\begin{array}{l}
\left( {x + \sqrt {{x^2} + 5} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} \right) = 5 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 5} - x = y + \sqrt {{y^2} + 5} \Rightarrow x + y = \sqrt {{x^2} + 5} - \sqrt {{y^2} + 5} {\rm{ }}\left( 1 \right) \\
\left( {y + \sqrt {{y^2} + 5} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 5} - y} \right) = 5 \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 5} - y = x + \sqrt {{x^2} + 5} \Rightarrow x + y = \sqrt {{y^2} + 5} - \sqrt {{x^2} + 5} {\rm{ }}\left( 2 \right) \\
\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow A = 0 \\
\end{array}\]
(có thiếu sót vài chỗ nhưng chắc các bạn cũng dễ dàng điền vào nhỉ
)
\[\begin{array}{l}
\left( {x + \sqrt {{x^2} + 5} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} \right) = 5 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 5} - x = y + \sqrt {{y^2} + 5} \Rightarrow x + y = \sqrt {{x^2} + 5} - \sqrt {{y^2} + 5} {\rm{ }}\left( 1 \right) \\
\left( {y + \sqrt {{y^2} + 5} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 5} - y} \right) = 5 \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 5} - y = x + \sqrt {{x^2} + 5} \Rightarrow x + y = \sqrt {{y^2} + 5} - \sqrt {{x^2} + 5} {\rm{ }}\left( 2 \right) \\
\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow A = 0 \\
\end{array}\]
(có thiếu sót vài chỗ nhưng chắc các bạn cũng dễ dàng điền vào nhỉ
)
- Cao Xuân Huy và duchanh1911 thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
